平面的法向量知识点题库

已知点A（0，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量 $\text{[math]}$ 是（　　）

A . （1，1，1） B . （1，1，﹣1） C . （﹣1，1，1） D . （1，﹣1，1）

若平面α、β的法向量分别为 $\text{[math]}$ =（2，3，5）， $\text{[math]}$ =（﹣3，1，﹣4），则（　　）

A . α∥β B . α⊥β C . α，β相交但不垂直 D . 以上均有可能

设 $\text{[math]}$ =（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， $\text{[math]}$ =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（）

A . l⊥α B . l∥α C . l⊂α或l⊥α D . l∥α或l⊂α

若直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面α的法向量为 $\text{[math]}$ ，则可能使l∥α的是（）

A . $\text{[math]}$ =（1，0，0）， $\text{[math]}$ =（﹣2，0，0） B . $\text{[math]}$ =（1，3，5）， $\text{[math]}$ =（1，0，1） C . $\text{[math]}$ =（0，2，1）， $\text{[math]}$ =（﹣1，0，﹣1） D . $\text{[math]}$ =（1，﹣1，3）， $\text{[math]}$ =（0，3，1）

如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．

（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（3，1，2），则m等于（）

A . ﹣2 B . 2 C . 3 D . ﹣3

在如图所示的多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角.

如下图，四梭锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ⊥底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

(I)证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(Ⅱ)求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的上底面中心为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点（靠近点 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，分别记二面角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知直角梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面垂直于平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图,在多面体 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ,四边形 $\text{[math]}$ 为正方形,四边形 $\text{[math]}$ 为梯形,且 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

图片_x0020_1853506241

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点M,使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在,求 $\text{[math]}$ 的值：若不存在,请说明理由.

已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，法向量 $\text{[math]}$ ，则其点法向式方程为

如图，点 $\text{[math]}$ 是正方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列结论正确的是（）

图片_x0020_541940341

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 始终是异而直线 B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为定值 D . 当 $\text{[math]}$ 时，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

如图,在三棱柱 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形,平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ,四边形 $\text{[math]}$ 为菱形, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点D.

图片_x0020_2018213961

（1）求证: $\text{[math]}$ .
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

已知直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -10 B . 3 C . 4 D . 5

如图，在直棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，棱 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为原点，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系

（1）求平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离.

平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量是 $\text{[math]}$ ，6， $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的关系是（）

A . 平行 B . 重合 C . 平行或重合 D . 垂直

给出下列命题，其中是真命题的是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直 B . 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若平面 $\text{[math]}$ 经过三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，则 $\text{[math]}$

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