题目

在空间直角坐标系中，已知向量 ， ， ． （1） 求向量在向量上的投影向量； （2） 求平面的法向量； （3） 求点到平面的距离． 答案： 解：因向量AB⇀=(1，0，0)，AC⇀=(0，2，0)，则CB→=AB→−AC→=(1，−2，0)，于是得|AB→|cos〈AB→，CB→〉⋅CB→|CB→|=AB→⋅CB→|CB→|2⋅CB→=15(1，−2，0)=(15，−25，0)，所以向量AB→在向量CB→上的投影向量a→=(15，−25，0). 解：因向量AC→=(0，2，0)，AD→=(0，0，3)，则CD→=AD→−AC→=(0，−2，3)，由(1)知CB→=(1，−2，0)，设平面BCD的一个法向量n→=(x，y，z)，则{n⇀⋅CB⇀=x−2y=0n⇀⋅CD⇀=−2y+3z=0，令y=3，得n→=(6，3，2)，所以平面BCD的法向量n→=(6，3，2). 解：由(2)得点A到平面BCD的距离d=|AB→⋅n→||n→|=662+32+22=67，所以点A到平面BCD的距离为67.

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