直线与平面垂直的判定知识点题库

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD， $\text{[math]}$ ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，现把平行四边形 $\text{[math]}$ ₁沿 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 折起如图2所示，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的射影为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值.

如图，在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 与侧面 $\text{[math]}$ 都是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值．

已知四棱台 $\text{[math]}$ 的上下底面分别是边长为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

已知多面体 ABCDE 中， DE⊥ 平面 ACD ， BC ∥DE， AC=CD=DA=DE=2BC=2 .

（1）求点 B 在平面 ADE上投影的位置，请说明具体位置并说明理由；
（2）求多面体 ABCDE 的体积.

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：CF⊥平面BDE；
（2）求二面角A-BE-D的大小。

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面ABCD是直角梯形，AD//BC ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ E为CD的中点， $\text{[math]}$

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（1）证明:平面PBD $\text{[math]}$ 平面ABCD；
（2）若 $\text{[math]}$ ，PC与平面ABCD所成的角为 $\text{[math]}$ ，试问“在侧面PCD内是否存在一点N ，使得 $\text{[math]}$ 平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.

如图， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上除 $\text{[math]}$ 外的一个动点， $\text{[math]}$ 垂直于半圆 $\text{[math]}$ 所在的平面， $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）当点 $\text{[math]}$ 为半圆的中点时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_442646808

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_2117854663

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ．

在四棱锥P-ABCD中，侧面 $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面PBD：
（2）设E为侧棱PC上异于端点的一点， $\text{[math]}$ ，试确定 $\text{[math]}$ 的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

如图BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分别为棱AC、CD、AD中点.

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（1）证明：EF⊥平面BCG；
（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥G—BEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）

已知矩形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，点 $\text{[math]}$ 折至 $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ D . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球心在平面 $\text{[math]}$ 内

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中.

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（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

将正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成直二面角 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是等边三角形 C . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为90° D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为30°

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积等于 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角余弦值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，侧面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若E为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，且点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

已知平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折至 $\text{[math]}$ 的位置，使得二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，得到斜三棱柱 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 侧面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．

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