题目

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= ， ． （1） 求证：CF⊥平面BDE； （2） 求二面角A-BE-D的大小。 答案： 连接FG， ∵ EF//CG,EF=CG=1,CE=1 ， ∴四边形CEFG为菱形, ∴ CF⊥EG . ∵ABCD为正方形， ∴ BD⊥AC ， 又平面ABCD ⊥ 平面ACEF，平面ABCD ∩​ 平面ACEF=AC，BD ⊂ 平面ABCD ∴ BD⊥ 平面ACEF， ∵CF ⊂ 平面ACEF， ∴ CF⊥BD ． 又 BD∩​EG=G ，BD ⊂ 平面BDE, BG ⊂ 平面BDE， ∴ CF⊥ 平面BDE． ∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC， ∴CE⊥平面ABCD， 以C为原点，CB为 x 轴，CD为 y 轴，CE为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C−xyz ， 则 C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),E(0,0,1),D(2,0,0),F(22,22,1) ， ∴ BE→=(0,−2,1),CF→=(22,22,1) ， AB→=(2,0,0) ， 由（1）可得 CF→=(22,22,1) 是平面BDE的一个法向量． 设平面ABE的一个法向量为 n→=(x1,y1,z1), 由 {BE→⋅n→=−2x1=0AB→⋅n→=−2y1+z1=0  ，得 {x1=0z1=−2y1  ， 令 y1=1 ，得 n→=(0,1,2) ， ∴ cos<CF→,n→>=CF→⋅n→|CF→|⋅|n→|=32 ， 由图形可得二面角A-BE-D为锐角， ∴二面角A-BE-D的大小为 π6 （或 300 ）．

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