题目

已知四棱锥 的底面ABCD是直角梯形，AD//BC ， ， E为CD的中点， （1） 证明:平面PBD 平面ABCD； （2） 若 ，PC与平面ABCD所成的角为 ，试问“在侧面PCD内是否存在一点N ， 使得 平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由. 答案： 证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB= 3 ，BC=2AD=2，AB⊥BC， 可得DC=2,∠BCD= π3 ，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC. ∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE, 又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD. 解：存在.在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD, ∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO= π4 ∴易得OP=OC= 3 ，PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点，OC⊥BD. 以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则B(1,0,0),C（0, 3 ，0）D(-1,0,0),P（0,0, 3 ）假设在侧面 PCD 内存在点 N ，使得 BN⊥ 平面 PCD 成立， 设 PN→=λPD→+μPC→(λ,μ≥0,λ+μ≤1) ，易得 N(−λ,3μ,−3(λ+μ−1)) 由 {BN⇀⋅PC⇀=0BN⇀⋅PD⇀=0 得 λ=15,μ=25 ，满足题意，所以N点到平面ABCD的距离为 −3(λ+μ−1)=235

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