题目

如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形 1沿折起如图2所示，连接、、．（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值．答案：证明：取 CC1 的中点 O ，连接 OA ， OB1 ， AC1 ，∵在平行四边形 ABB1A1 中， ∠ABB1=60° ， AB=4 ， AA1=2 ， C 、 C1 分别为 AB 、 A1B1 的中点，∴ ΔACC1 ， ΔBCC1 为正三角形，则 AO⊥CC1 ， OB1⊥CC1 ，又∵ AO∩OB1=O ，∴ CC1⊥ 平面 OAB1 ，∵ AB1⊂ 平面 OAB1∴ AB1⊥CC1 ；解：∵ ∠ABB1=60° ， AB=4 ， AA1=2 ， C 、 C1 分别为 AB 、 A1B1 的中点，∴ AC=2 ， OA=OB1=3 ， ∵ AB1=6 ，则 OA2+OB12=AB12 ，则三角形 AOB1 为直角三角形，则 AO⊥OB1以 O 为原点，以 OC ， OB1 ， OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0， 3 ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， 3 ），则 CC1⇀=(−2,0,0)则 AA1⇀=CC1⇀=(−2,0,0) ， AB1⇀ =（0， 3 ， −3 ）， AC⇀ =（1，0， −3 ），设平面AB1C的法向量为 n⇀=(x,y,z) ，则 {n⋅⇀AB1⇀=3y−3z=0n⋅⇀AC⇀=x−3z=0 ，令 z=1 ，则 y=1 ， x=3 ，则 n⇀=(3,1,1) ，设平面A1B1A的法向量为 m⇀=(x,y,z) ，则 {m⋅⇀AA1⇀=−2x=0m⋅⇀AB1⇀=3y−3z=0 ，令 z=1 ，则 x=0 ， y=1 ，即 m⇀=(0,1,1) ，则 cos〈m⇀,n⇀〉=105 ∴二面角 C−AB1−A1 的正弦值是 155

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