题目

(理)已知数列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*).(1)求a2,a3,a4;(2)求数列{an}的通项an;(3)设数列{bn}满足b1=,bn+1=bn2+bn,求证:bn＜1(n≤k).(文)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0),动点P满足=4.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过E点作直线与C相交于M、N两点,且,求直线MN的方程. 答案：(理)解：(1)a2=2,a3=3,a4=4. (2)nan+1=2(a1+a2+…+an),①(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1),②①-②得nan+1-(n-1)an=2an,即nan+1=(n+1)an,, 所以an=a1·=n(n≥2).所以an=n(n∈N*).(3)由(2)得b1=,bn+1=bn2+bn＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0,所以{bn}是单调递增数列,故要证bn＜1(n≤k)只需证bk＜1.若k=1,则b1=＜1显然成立, 若k≥2,则bn+1=bn2+bn＜bnbn+1+bn,所以-＞-.因此,. 所以bk＜＜1.所以bn＜1(n≤k).(文)解：(1)∵=4,由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆,且2a=4,c=1,∴a2=4,b2=3.∴所求的椭圆方程为=1. (2)①当直线MN的斜率不存在时,不满足题意; ②当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),代入=1化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0. 设两交点的坐标为M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.∵,∴x1+2x2=-3.∴x2=-3+,x1=-3-2x2=.∴.∴k2=,即k=±,满足Δ＞0.∴所求的直线MN的方程为y=±(x+1).

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