题目

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面 ， ． （1） 求证：平面； （2） 若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为 ， 求平面与平面夹角的余弦值． 答案： 证明：设Q为AD的中点，连接PQ，∵△PAD为正三角形，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD ，∴PQ⊥平面ABCD， 又AB⊂平面ABCD，∴PQ⊥AB，又AB⊥PD，PQ∩PD=P，PD，PQ⊂平面PAD ，∴AB⊥平面PAD； 解：在平面PAD内作AM∥PQ，则AM⊥AD．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，AM⊂平面PAD，∴AB⊥AD，AB⊥AM．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．∵底面ABCD为平行四边形，AB⊥AD，∴ABCD为矩形．设AB=a，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，2，0)，D(0，2，0)，P(0，1，3)，E(0，32，32)．∴AC→=(a，2，0)，AE→=(0，32，32)设平面ACE的法向量为m→=(x，y，z)，由{m⋅AC⇀=0m⋅AE⇀=0 得{ax+2y=032y+32z=0取x=2，得平面ACE的一个法向量为m→=(2，−a，3a)．又AB→=(a，0，0)，所以点B到平面ACE的距离为|AB→⋅m→||m→|=2a4+4a2=255，解得a=2．∴m→=(2，−2，23)，AB→=(2，0，0)，AP→=(0，1，3)，设平面ABP的法向量为n→=(x1，y1，z1)，由{n⋅AB⇀=0n⋅AP⇀=0 得{2x1=0y1+3z1=0取z1=1，得平面ABP的一个法向量为m→=(0，−3，1)．∴平面ACE与平面ABP夹角的余弦值为|cos<m→，n→>|=|m→⋅n→||m→||n→|=432×25=155 ．

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