题目

如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形， ， ．（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值． 答案：解：（Ⅰ）证明：连 AC1 ， CB1 ，则 △ACC1 和 △B1CC1 皆为正三角形．取 CC1 中点 O ，连 OA ， OB1 ，则 CC1⊥OA ， CC1⊥OB ，则 CC1⊥ 平面 OAB1 ，则 CC1⊥AB1（Ⅱ）由（Ⅰ）知， OA=OB1=3 ，又 AB1=6 ，所以 OA⊥OB1 ．如图所示，分别以 OB1 ， OC1 ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，则 C(0，−1，0) ， B1(3，0，0) ， A(0，0，3) ，设平面 CAB1 的法向量为 m⇀=(x1，y1，z1) ，因为 AB1⇀=(3，0，−3) ， AC⇀=(0，−1，−3) ，所以 {3x1+0×y1−3z1=0，0×x1−y1−3z1=0，取 m⇀=(1，−3，1)面 AA1B1 的法向量取 n⇀=(1，0，1) ，则 cos〈m⇀，n⇀〉=m⇀⋅n⇀|m⇀|·|n⇀|=25×2=105 ，平面 CAB1 与平面 A1AB1 所成的锐二面角的余弦值 105 ．

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