题目

如图，在三棱柱 中， ， ， ， 在底面 的射影为 的中点， 是 的中点. （1） 证明： 平面 ； （2） 求二面角 的平面角的余弦值. 答案： 解：设 E 为 BC 的中点，连接 A1E .由题意得： A1E⊥ 平面 ABC ，所以 A1E⊥AE .因为 AB=AC ，所以 AE⊥BC ， A1E∩BC=E ，故 AE⊥ 平面 A1BC .由 D，E 分别为 B1C1，BC 的中点，得 DE//B1B 且 DE=B1B ，从而 DE//A1A 且 DE=A1A ，所以 A1AED 为平行四边形，故 A1D//AE ，又因为 AE⊥ 平面 A1BC ，所以 A1D⊥ 平面 A1BC . 解：方法一：作 A1F⊥BD ，且 A1F∩BD=F ，连结 B1F .  由 AE=EB=2 ， ∠A1EA=∠A1EB=90∘ ，得 A1B=A1A=4 ，由 A1D=B1D ， A1B=B1B ，得 ΔA1DB 与 ΔB1DB 全等.由 A1F⊥BD ，得 B1F⊥BD ，因此 ∠A1FB1 为二面角 A1−BD−B1 的平面角.由 A1D=2 ， A1B=4 ， ∠DA1B=90∘ ，得 BD=32 ， A1F=B1F=43 ，由余弦定理得 cos∠A1FB1=−18 .方法二：以 CB 的中点 E 为原点，分别以射线 EA，EB 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 E−xyz ，如图所示，由题意知各点坐标如下：A1(0，0，14)，B(0，2，0)，D(−2，0，14) ， B1(−2，2，14)因此 A1B→=(0，2，−14) ， BD→=(−2，2，14) ， DB1→=(0，2，0) ，设平面 A1BD 的法向量为 m→=(x1，y1，z1) ，平面 B1BD 的法向量为 n→=(x2，y2，z2) ，由 {m→⋅A1B→=0m→⋅BD→=0 ，即 {2y1−14z1=0−2x1−2y1+14z1=0 ，可取 m→=(0，7，1) .由 {n→•DB1→=0n→•BD→=0 ，即 {2y2=0−2x2−2y2+14z2=0 ，可取 n→=(7，0，1) ，于是 |cos<m→，n→>|=|m→⋅n→||m→||n→|=18 .由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角 A1−BD−B1 的平面角的余弦值为 −18 .

查看本题答案和解析