三角形全等的判定（AAS）知识点题库

问题：如图①，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ （不需要证明）；

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（1）探究：如图②， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 在这个角的内部，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ；
（2）证明：如图③，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部的射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的外角。已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
（3）应用：如图④，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的面积为15，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和为．

如图，已知∠AOB

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（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）
①分别交OA、OB于F，E两点；

②，两条圆弧交于点P；

③即为所求.
（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.

综合与实践

阅读以下材料：

定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”．

用符号语言表示为：如图①，在△ABC与△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC与△DEF是互补三角形．

反之，“如果△ABC与△DEF是互补三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．

自主探究

利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题：

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（1）性质：互补三角形的面积相等
如图②，已知△ABC与△DEF是互补三角形．

求证：△ABC与△DEF的面积相等．

证明：分别作△ABC与△DEF的边BC，EF上的高线，则∠AGC=∠DHE=90°．(将剩余证明过程补充完整)
（2）互补三角形一定不全等，请你判断该说法是否符合题意，并说明理由，如果错误，请举出一个反例，画出示意图．

在等腰直三角形ABC中， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M为边BC的中点．

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（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a ， b），求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P ，使以O、P、M点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．

如图， $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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如图，直线 $\text{[math]}$ 经过正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为．

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如图 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$

如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E.

（1）试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F.

（1）若∠A＝36°，求∠CFD的度数；
（2）若BC＝5，AB＝13，求AD的长度.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ 逐渐变（填“大或“小”）．
（2）当 $\text{[math]}$ 等于多少时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ？请说明理由．

（知识再现）

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

（1）（简单应用）
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上.若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是.
（2）（拓展延伸）
在△ABC中，∠BAC＝ $\text{[math]}$ （90°＜ $\text{[math]}$ ＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上.

若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.
（3）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD.试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由.

在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边上的动点，以 $\text{[math]}$ 为一边作等边 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若等边 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动（不运动到点 $\text{[math]}$ ）时，连接 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 的大小是否变化并说明理由．

如图，直角坐标系中，以M（6，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C、D.

（1）若C点坐标为（0，8），求点A坐标.
（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°，若存在，求出满足条件的点P.
（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时.AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值.

如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）

A . 1 B . 1.8 C . 2 D . 2.5

如图，CN是等边 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；
（2）若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明.（第（2）问中的结论可以直接使用）

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：y= - x-2 交x轴于点A，交y轴于点B，作点A关于y轴的对称点C，D是直线l上的动点，连CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE。则

（1）点C的坐标是
（2） OE+AE的最小值是.

如图，一个由8个正方形组成的“ $\text{[math]}$ ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在矩形 $\text{[math]}$ 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 $\text{[math]}$ 的长为．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，并经过 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．
（2）求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）若 $\text{[math]}$ ，试在 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），使直线 $\text{[math]}$ 经过四边形 $\text{[math]}$ 一边的中点，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.

（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若 $\text{[math]}$ ＝2，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若MN∥BE，求 $\text{[math]}$ 的值.

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