题目

如图，直角坐标系中，以M（6，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C、D. （1） 若C点坐标为（0，8），求点A坐标. （2） 在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°，若存在，求出满足条件的点P. （3） 过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时.AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值. 答案： 如图①，连接CM， 在Rt△COM中，OC=8，OM=6，CM= OC2+OM2=82+62 =10， ∴AM=10， ∴OA=4， ∴A（-4，0）； 假设存在这样的点P（x，y），结合题意， 可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=10， 故CP=10 2 ； 又∵M（6，0），C（0，8）， ∴ {（x−6)2+y2=100x2+(y−8)2=200 ； 解之得： {x1=14y1=6 ， {x2=−2y2=−6 即存在两个这样的点P； P1（14，6），P2（﹣2，﹣6）； AN的长不变为12. 如图②，连接CM，作MH⊥AN于H， 则AH=HN， ∵EC切⊙M， ∴∠ECM=90°， ∴四边形HMCF是矩形， ∴∠CMH=90°， 在△AMH和△MCO中， ∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH， ∠COM=∠AHM=90°， CM=AM， ∴△AMH≌△MCO， ∴AH=MO=6， 即AN=HN+AH=6+6=12.

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