探索数与式的规律知识点题库

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A₁的伴随点为A₂ ，点A₂的伴随点为A₃ ，点A₃的伴随点为A₄ ， …，这样依次得到点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n ， …．若点A₁的坐标为（3，1），则点A₃的坐标为，点A₂₀₁₄的坐标为．

解答题

观察下列式子：（1） $\text{[math]}$ ；（2） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；（3） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；（4） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；…．

（1）请按此规律，写出第（7）个式子；
（2）请按此规律，写出第（n）个式子；
（3）计算： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =； $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =； $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =．
（4）计算： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．

观察下列运算并填空：

1×2×3×4+1=25=5²；

2×3×4×5+1=121=11²；

3×4×5×6+1=361=19²；

…

9×10×11×12+1==²；

根据以上结果，猜想：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=² ．

已知3 $\text{[math]}$ ＝3，3 $\text{[math]}$ ＝9，3 $\text{[math]}$ ＝27，3 $\text{[math]}$ ＝81，3 $\text{[math]}$ ＝243，3 $\text{[math]}$ ＝729， 3⁷＝2187，3 $\text{[math]}$ ＝6561……，请你推测3 $\text{[math]}$ 的个位数是.

观察下列各式：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…

（1）根据以上式子的特点完成下列各题：
① $\text{[math]}$ =；② $\text{[math]}$ =（n是正整数）．
（2）计算： $\text{[math]}$
（3）计算： $\text{[math]}$ ．

观察下列各式：

1³＝1²

1³＋2³＝3²

1³＋2³＋3³＝6²

1³＋2³＋3³＋4³＝10²

…

猜想1³＋2³＋3³＋…＋10³＝.

瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 $\text{[math]}$ 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，按这种规律，第七个数据可表示为,第 $\text{[math]}$ 个数据可表示为.

阅读下列解题过程：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

请回答下列问题：

（1）观察上面解题过程,请直接写出 $\text{[math]}$ 的结果为．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
$\text{[math]}$

在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象如图所示．已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ……，依次进行下去，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a₁ ，第二个三角数记为a₂…，第n个三角数记为a_n ，计算a₁+a₂ ， a₂+a₃ ， a₃+a₄ ， …由此推算a₃₉₉+a₄₀₀＝.

阅读材料，解决问题：

由3¹＝3，3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，3⁵＝243，3⁶＝729，3⁷＝2187，3⁸＝6561，……，

不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：

因为3¹⁰⁰＝3⁴×25，所以3¹⁰⁰的个位数字与3⁴的个位数字相同，应为1;

因为3²⁰⁰⁹＝3⁴×502＋1，所以3²⁰⁰⁹的个位数字与3¹的个位数字相同，应为3.

（1）请你仿照材料，分析求出2⁹⁹的个位数字及9⁹⁹的个位数字;
（2）请探索出2²⁰¹⁰＋3²⁰¹⁰＋9²⁰¹⁰的个位数字;
（3）请直接写出9²⁰¹⁰－2²⁰¹⁰－3²⁰¹⁰的个位数字

已知: $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ···按此排列，则第 $\text{[math]}$ 个等式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

一串数字的排列规则是：第一个数是2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为1，则第2020个数是（）

A . 2 B . -2 C . -1 D . $\text{[math]}$

如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第8行倒数第二个数是 .

小王利用计算机设计了一个计算程序，输人和输出的数据如下表所示，当输人数据为8时，输出的数据为( )

输入	…	1	2	3	4	5	…
输出	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．

（1）探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 $\text{[math]}$ 个区域，所以3条直线至多将平面分成 $\text{[math]}$ 个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和 $\text{[math]}$ 条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 $\text{[math]}$ 个区域，所以4条直线至多将平面分成 $\text{[math]}$ 个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和 $\text{[math]}$ 条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了 $\text{[math]}$ 个区域，所以5条直线至多将平面分成 $\text{[math]}$ 个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成个区域；依此类推n 条直线可以将平面至多分成个区域．
（2）探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了 $\text{[math]}$ 条弧，将平面至多分成了 $\text{[math]}$ 个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了 $\text{[math]}$ 条弧，将平面至多分成了 $\text{[math]}$ 个区域；以此类推5个圆可以将平面分成个区域．
问题解决：n个圆至多可以将平面分成个区域．

问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成个区域．

（1）观察下列各式的特点：
$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

…

根据以上规律可知： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，

…

根据观察，请写出式子 $\text{[math]}$ （n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式： $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |+•••+| $\text{[math]}$ |．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点 $\text{[math]}$ 位于坐标原点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在y轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在二次函数 $\text{[math]}$ 位于第一象限的图象上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的斜边长为．

在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全．

观察以下一列数：3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…则第10个数是．

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