探索数与式的规律知识点题库

已知下列一组数：1， $\text{[math]}$ …；用代数式表示第n个数，则第n个数是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n₊₁是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n₊₁=1，分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n₊₁作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n₊₁ ，连接A₁B₂、B₁A₂、A₂B₃、B₂A₃、…、A_nB_n₊₁、B_nA_n₊₁ ，依次相交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n ． △A₁B₁P₁、△A₂B₂P₂、△A_nB_nP_n的面积依次记为S₁、S₂、S₃、…、S_n ，则S_n为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知A₁ ， A₂ ， A₃ ， …A_n是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n_﹣₁A_n=1，分别过点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …A_n作x轴的垂线交反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象于点B₁ ， B₂ ， B₃ ， …B_n ，过点B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于点P₁ ，过点B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于点P₂…，记△B₁P₁B₂的面积为S₁ ， △B₂P₂B₃的面积为S₂…，△B_nP_nB_n₊₁的面积为S_n ，则S₁+S₂+S₃+…+S_n=．

在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P在弧线上运动的速度为每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度，则2017秒时，点P的坐标是（）

A . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ） C . （2017， $\text{[math]}$ ） D . （2017，﹣ $\text{[math]}$ ）

观察下面的一列单项式：﹣2x、4x³、﹣8x⁵、16x⁷、…根据你发现的规律，第n个单项式为．

在求1+6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=1+6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹①

然后在①式的两边都乘以6，得：

6S=6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹+6¹⁰②

②﹣①得6S﹣S=6¹⁰﹣1，即5S=6¹⁰﹣1，所以S= $\text{[math]}$ ，得出答案后，爱动脑筋的小林想：

如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴的值？你的答案是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . a²⁰¹⁴﹣1

观察下列一组数：1、1、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、2 $\text{[math]}$ ，____，按照这组数的规律横线上的数是（　　）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 3 $\text{[math]}$

猜数字游戏中，小明写出如下一组数： $\text{[math]}$ ，小亮猜想出第六个数字是 $\text{[math]}$ ，根据此规律，第n个数是.

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0).点P第1次向上跳动1个单位至点P₁(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P₂(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P₃ ，第4次向右跳动3个单位至点P₄ ，第5次又向上跳动1个单位至点P₅ ，第6次向左跳动4个单位至点P₆ ， ….照此规律，点P第100次跳动至点P₁₀₀的坐标是( )

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A . (﹣26，50) B . (﹣25，50) C . (26，50) D . (25，50)

如图，在射线OA ， OB上分别截取OA₁＝OB₁ ，连接A₁B₁ ，在B₁A₁ ， B₁B上分别截取B₁A₂＝B₁B₂ ，连接A₂B₂ ， …按此规律作下去，若∠A₁B₁O＝a ，则∠A₂₀₂₀B₂₀₂₀O＝（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4040a D . 4038a

图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 $\text{[math]}$ 层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 $\text{[math]}$ .

如果图3、图4中的圆圈均有13层.

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（1）我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是；
（3）求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)

观察下列各式及其验证过程：

$\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ．

（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 $\text{[math]}$ 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然数，且 $\text{[math]}$ ）表示的等式，并进行验证；
（3）用 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为任意自然数，且 $\text{[math]}$ ）写出三次根式的类似规律，并进行验证．

这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第4行的数是．

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如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，已知 $\text{[math]}$ 改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a的值是（）

A . 36 B . 45 C . 52 D . 61

已知整数a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，满足下列条件：a₁＝0，a₂＝﹣|a₁+1|，a₃＝﹣|a₂+2|，a₄＝﹣|a₃+3|，依此类推，则a₂₀₂₁的值为.

如图，在平面直角坐标系下 $\text{[math]}$ 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴正半轴上的整点，记 $\text{[math]}$ 内部（不包括边界）的整点个数为 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 的横坐标为3时， $\text{[math]}$ ；当点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）时， $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

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若x是不等于1的实数，我们把 $\text{[math]}$ 称为x的差倒数，如3的差倒数是 $\text{[math]}$ ＝﹣ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ 的差倒数为 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．现已知x₁＝2，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂差倒数，x₄是x₃的差倒数，…，依此类推，则x₂₀₂₀+x₂₀₂₁的和为（）

A . 1 B . ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$

如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边作 $\text{[math]}$ ，并使 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 为直角边作 $\text{[math]}$ ，并使 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 为直角边作 $\text{[math]}$ ，并使 $\text{[math]}$ ，…，按此规律进行下去，则 $\text{[math]}$ 的坐标是．