探索数与式的规律知识点题库

观察以下等式：
(x+1)(x²-x+1)=x³-1
(x+3)(x²-3x+9)=x³+27
(x+6)(x²-6x+36)=x³+216
．．．．．．．．．．．．
按以上等式的规律，填空：(a+b)（___________________）=a³+b³
利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
利用（1）中的公式化简：（x+y）（x²-xy+y²）-（x-y）（x²+xy+y²）

定义新运算“*”为：a*b= $\text{[math]}$ ，则当x=3时，计算2*x﹣4*x的结果为．

从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

加数的个数n	和S
1	2=1×2
2	2+4=6=2×3
3	2+4+6=12=3×4
4	2+4+6+8=20=4×5
5	2+4+6+8+10=30=5×6

（1）若n=8时，则S的值为．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=．
（3）根据上题的规律求102+104+106+108+…+200的值（要有过程）

已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：

第1行 1

第2行﹣2 3

第3行﹣4 5﹣6

第4行 7﹣8　9﹣10

第5行 11﹣12 13﹣14 15

…

按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（）

A . ﹣4955 B . 4955 C . ﹣4950 D . 4950

定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5，则（﹣3）⊕4的值为．

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 $\text{[math]}$ ＝(1＋ $\text{[math]}$ )² ，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b $\text{[math]}$ ＝ (m＋n $\text{[math]}$ )²(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a＋b $\text{[math]}$ ＝m²＋2n²＋2mn $\text{[math]}$ ，

∴a＝m²＋2n² ， b＝2mn.这样小明就找到了一种把a＋b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b $\text{[math]}$ ＝(m＋n $\text{[math]}$ )² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ = (+ )²；(答案不唯一)
（3）若a＋4 $\text{[math]}$ ＝(m＋n $\text{[math]}$ )^{2 ，}且a、m、n均为正整数，求a的值．

观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：

1，﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ，，，…

将连续的正偶数2，4，6，8…，排成下表：

图片_x0020_100007

（1）十字框中的五个数的和是中间的数16的几倍？
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为 $\text{[math]}$ ，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）这五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．

如图所示为一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是．

正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（填A，B，C，D中一个字母）

图片_x0020_100003

计算下列各式：

（1） $\text{[math]}$ ＝；
（2） $\text{[math]}$ ＝；
（3） $\text{[math]}$ ＝；
（4） $\text{[math]}$ ＝；
（5） $\text{[math]}$ ＝；
（6）猜想 $\text{[math]}$ ＝．（用含n的代数式表示）

汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一.如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上.

图片_x0020_100022

（ 1 ）每次只能移动一个金属片；

（ 2 ）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则①f（3）＝，②f（n）＝.

如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为 $\text{[math]}$ ，第二个数记为 $\text{[math]}$ ，第三个数记为 $\text{[math]}$ ，…，第 $\text{[math]}$ 个数记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 76 B . 74 C . 72 D . 70

观察下列各式的规律：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；…

根据上述式子的规律，解答下列问题：

（1）第④个等式为.
（2）写出第n个等式，并验证其正确性.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，有一个等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直角边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，并将两直角边延长，得到等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，并将两直角边延长，得到等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依此规律，得到等腰三角形 $\text{[math]}$ ，则点A₂₀₂₀的坐标为．