1.2 活动思考知识点题库

一批货物总重1.2×10⁷千克，下列可将其一次性运走的合适运输工具是（　　）

A . 一辆板车 B . 一架飞机 C . 一辆大卡车 D . 一艘万吨巨轮

一般来说，一张纸的厚度大约是50微米，那么一百万张这样的纸叠起来的高度约是米．

如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2 $\text{[math]}$ cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题：

（1） AD=cm；
（2）当点R在边AC上时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式．

为比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则由的股定理可求得其斜边长为 $\text{[math]}$ .根据“三角形三边关系”，可得 $\text{[math]}$ .小亮的这一做法体现的数学思想是( )

A . 分类讨论思想 B . 方程思想 C . 类比思想 D . 数形结合思想

（1）计算： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
（2）求证： $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$

已知实数m是一个不等于2的常数，解不等式组 $\text{[math]}$ ，并根据m的取值情况写出其解集．

为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A ，点A对应的数是多少？从图中可以看出OA的长是这个圆的周长π，所以点A对应的数是π，这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来，上述材料体现的数学思想是（）

A . 方程思想 B . 从特殊到一般 C . 数形结合思想 D . 分类思想

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C ．

（1）求点B的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 $\text{[math]}$ 围成的区域（不含边界）为G ．
①当 $\text{[math]}$ 时，结合函数图象，求区域G内整点的个数；

②若区域G内恰有2个整点，直接写出k的取值范围．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB $\text{[math]}$ ．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD．

（1）当AD=AB时，求tan∠ABD的值；
（2）以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B．讨论⊙A与⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值．
（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．

如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D ，直线BE交AD于点E ，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3） P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P ，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\text{[math]}$ 中，CD⊥AB，垂足为D，CD＝BD＝5，AD＝4，点M从点B出发沿线段BA方向运动到点A停止，过点M作MN⊥AB，交折线BC﹣CA于点N，连接DN，AN，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，则线段BM的长为．

若a，b互为相反数，c，d互为倒数， $\text{[math]}$ ，n是绝对值最小的有理数，求 $\text{[math]}$ 的值.

先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目.

例：已知代数式 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

因此 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =8

题目：已知代数式 $\text{[math]}$ 的值是－2，求 $\text{[math]}$ 的值.

已知a是最大的负整数，b是-5的相反数，c= $\text{[math]}$ ，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数.若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度.

（1）求a、b、c的值；
（2） P、Q同时出发，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距离等于M到P距离的两倍？

下面的时间最接近你年龄的是（）

A . 6000时 B . 6000分 C . 600月 D . 600周

一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，否则称为合数．其中，1和0既不是质数也不是合数．数学家欧几里得在《几何原本》中对此进行过详细论述．一个较大自然数是质数还是合数通常用“N法”来判断，主要分为三个步骤：第一步，找出大于N且最接近N的平方数k²；第二步，用小于k的所有质数去除N；第三步，如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N，那么N就是合数．如判断239是质数还是合数？第一步，239＜256＝16²：第二步，小于16的质数有：2、3、5、7、11、13，用2、3、5、7、11、13依次去除239；第三步，发现没有质数能整除239，所以239是质数．分解质因数就是把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，通过分解质因数可以确定该合数的约数的个数．若N＝a^m×bⁿ×c^p…（a，b，c…是不相等的质数，m，n，p…是正整数），则合数N共有（m＋1）（n＋1）（p＋1）…个约数．如8＝2³ ， 3＋1＝4，则8共有4个约数；又如12＝2²×3¹ ，（2＋1）（1＋1）＝6，则12共有6个约数．

请用以上方法解决下列问题：

（1）请用“N法”判断397是质数还是合数？
（2）合数200的约数个数是多少？有和200约数个数相同的最小的合数吗，若有请举例说明，若没有请说明理由．

如图，已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

图片_x0020_100023

（1）如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图②，若点O在△ABC内部，求证AB＝AC.
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图说明．

《庄子》一书里有：“一尺之棰（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号表示：1＝ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ +…；也可以用图形表示．上述研究问题的过程中体现的主要数学思想是（　　）

A . 函数思想 B . 数形结合思想 C . 公理化思想 D . 分类讨论思想

阅读下列材料，并完成相应学习任务：

一元二次方程在几何作图中的应用

如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24

若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x₁＝2，x₂＝12

当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2，所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12

如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝ $\text{[math]}$ AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

学习任务：

（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是___________；（填出序号即可）

A . 转化思想； B . 数形结合思想； C . 分类讨论思想； D . 归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．

在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为.

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