题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB ．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD． （1） 当AD=AB时，求tan∠ABD的值； （2） 以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B．讨论⊙A与⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值． （3） 当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值． 答案： 解：在△ABC中， ∵∠ACB=90°，AB=5， cosB=45 ， ∴ BCAB=45 ， ∴BC=AB•cos∠ABC=5 ×45= 4， ∴ AC=AB2−BC2=52−42=3 ， 当AD=AB=5时，∠ABD=∠D， ∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2， 在Rt△BCD中， tan∠D=BCCD=42=2 ， ∴tan∠ABD=tan∠D=2； 解：如图2， ⊙A经过点E，两圆外切，由题意得：AD=t，BE=2t， ∴t+2t=5，解得：t =53 ， ①当两圆外离时，由题意得5＞3t，解得： 0<t<53 ； ②当两圆外切时，如图2， t=53 ； ③当两圆相交时，由题意得t＜5＜3t，解得： 53<t<5 ； ④当两圆内切时，如图3， 由题意得2t﹣t=5，解得：t=5； ⑤当两圆内含时，由题意得0≤5＜t，解得：t＞5； 解：①当D在线段AC上，且∠BED=90°时，如图4， ∵cosA =ACAB=AEAD ，即 35=5−2tt ， 解得： t=2513 ， ∴CD=3 −2513=1413 ， ∴ tan∠CBD=726 ； ②当D在线段AC上，且∠BDE=90°，如图5，过E作EF∥BC，交AC于F， ∴AE=5﹣2t． ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ AEAB=AFAC=EFBC ，即 5−2t5=AF3=EF4 ， ∴AF=3 −65 t，EF=4 −85 t． ∵AD=t， ∴CD=3﹣t，DF=AD﹣AF=t﹣(3 −65 t) =115 t﹣3． ∵∠BDE=∠EDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°， ∴∠EDF=∠CBD． ∵∠EFD=∠C=90°， ∴△EFD∽△DCB， ∴ EFDC=FDCB ，即 4−85t3−t=115t−34 ， ∴4(4 −85 t)=(3﹣t)( 115 t﹣3)， 解得：t1=5(舍)， t2=2511 ， ∴tan∠CBD =CDBC=3−25114=211 ； ③当D在线段AC的延长线上，且∠BDE=90°时，如图6，过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ AEAB=AFAC=EFBC ，即 2t−55=AF3=EF4 ， ∴AF =65 t﹣3，EF =85 t﹣4． ∵AD=t， ∴CD=t﹣3，DF=AD+AF=t+( 65 t﹣3) =115 t﹣3， 同理得△EFD∽△DCB， ∴ EFDC=FDCB ，即 85t−4t−3=115t−34 ， ∴4( 85 t﹣4)=(t﹣3)( 115 t﹣3)， 解得：t1=5， t2=2511 (舍)， ∴tan∠CBD =CDCB=5−34=12 ； ④当D在线段AC的延长线上，且∠DBE=90°时，如图7， ∵∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠CDB， ∴∠ABC=∠CDB， ∴tan∠ABC=tan∠CDB =ACBC=BCCD ，即 34=4t−3 ， 解得： t=253 ， ∴tan∠CBD =CDBC=43 ； 综上，tan∠CBD的值是 726 或 211 或 12 或 43 ．

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