题目

如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2 cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题： （1） AD=cm； （2） 当点R在边AC上时，求t的值； （3） 求S与t之间的函数关系式． 答案： 【1】2 解：∵QR∥BC，∴△AQR∽△ABC，∴ QRBC=AEAD ，即 2t6=2−t2 ，解得，t= 65 ； 解：①当0＜t≤ 65 时（图1），∠B=45°，∠BPQ=90°，∴∠BQP=90°-45°=45°∴PQ=BP=t∴S=S矩形PQRS=2t•t=2t2．②当 65 ＜t＜2时（图2）∠BAD=90°-45°=45°BD=AD=2cmCD=6-2=4cm．SF∥AD∴△FSC∽△ADC∴ SFAD=SCDC ，即 SF2=6−3t4 ，SF=3- 32 t，∴FR=t-（3- 32 t）= 5t2 -3，∵ER∥SC，∴∠REF=∠C又∠REF=∠ADC=90°∴△ERF∽△CDA∴ ERDC=RFAD ，即 ER4=5t2−32 ，ER=5t-6，∴S=S矩形PQRS-S△ERF=2t2- 12 （5t-6）（ 52 t-3）=- 174 t2+15t-9．③当2≤t＜6时（图3）∵PQ∥AD∴△ERF∽△CDA，∴ QPAD=PCCD ，即 QP2=6−t4 ，∴QP=3- 12 t∴S=S△QPC= 12 （3- 12 t）（6-t）= 14 t2-3t+9．

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