定义新运算知识点题库

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

如果y′= $\text{[math]}$ ，那么称点Q为点P的“关联点”．

例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”

为点（﹣5，﹣6）．

（1） ①点（2，1）的“关联点”为；②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关联点”中有一个在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，那么这个点是（填“点A”或“点B”）．
（2） ①如果点M^*（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“关联点”，
那么点M的坐标为；②如果点N^*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．
（3）如果点P在函数y=﹣x²+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标
y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是．

对于有理数m，n，我们规定m $\text{[math]}$ n=mn-n，例如3 $\text{[math]}$ 5=3×5-5=10，则（-6） $\text{[math]}$ 4=。

现定义两种运算“⊕”“*”对于任意两个整数，a⊕b=a+b－1，a*b=a×b－1，则6⊕(8* (3⊕5))的结果是( )

A . 60 B . 70 C . 112 D . 69

如果 $\text{[math]}$ 是整数,且 $\text{[math]}$ ,那么我们规定一种记号 $\text{[math]}$ ,例如 $\text{[math]}$ ,那么记作(3,9)=2,根据以上规定,求(−2,16)=.

对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，自变量的值为m时，函数值等于-m ，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零.例如：图中的函数有4，－1两个反向值，其反向距离n等于5.现有函数y＝ $\text{[math]}$ ，则这个函数的反向距离的所有可能值有（）

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A . 1个 B . 2个 C . 3个及以上的有限个 D . 无数个

用“ $\text{[math]}$ ”表示一种运算符号，其意义是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

定义一种新运算“aYb”的含义为：当a≥b时，aYb=2b；当a＜b时，aYb=2a．例如：3Y(-1)=2´(-1)=-2，(-6)Y（-5）=2´(-6)=-12．

（1）填空：5Y3=；
（2）如果(3x-2)Y(2x+5)=2´(2x+5)，求x的取值范围；
（3）如果：(2x-3)Y(-2x-1)=-6，求x的值．

问题情境：

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中有不重合的两点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，小明在学习中发现，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 轴，且线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 轴，且线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ；

（1）（应用）：
若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 的长度为．
（2）若点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．
（3）（拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的折线距离为 $\text{[math]}$ ；例如：图1中，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的折线距离为 $\text{[math]}$ ．

解决下列问题：

如图1，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
（4）如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
（5）如图3，已知 $\text{[math]}$ 的，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且三角形 $\text{[math]}$ 的面积为3，则 $\text{[math]}$ ．

七年级戚红梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ $\text{[math]}$ ”，规则如下： $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

定义新运算符号“ $\text{[math]}$ ”如下： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

对于有理数 $\text{[math]}$ ，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”，规定 $\text{[math]}$ .

（1）计算 $\text{[math]}$ 的值.
（2）当 $\text{[math]}$ 在数轴上的位置如图所示时，化简 $\text{[math]}$ .
（3）当 $\text{[math]}$ 时，是否一定有 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ ？若是，则说明理由；若不是，则举例说明.
（4）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

我们定义：一个整数能表示成 $\text{[math]}$ （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 $\text{[math]}$ ，所以5是“完美数”．

解决问题：

（1）已知29是“完美数”，请将它写成 $\text{[math]}$ （a，b是整数）的形式．
（2）若 $\text{[math]}$ 可配方成 $\text{[math]}$ （m，n为常数），则 $\text{[math]}$ 的值．
（3）探究问题：
①已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是多少．

②已知 $\text{[math]}$ （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
（4）拓展结论：已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

探究规律，完成相关题目

老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”

老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子:

(+2) ※(+4)=+6 ；(-3) ※(-4)=+7

(-2) ※(+3)=-5 ； (+5) ※(-6)=-11

0※(+9)=+9；(-7) ※0=+7

小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则：

（1）归纳※（加乘）运算法则：
两数进行※（加乘）运算时，

特别是0和任何数进行※（加乘）运算，或是任何数和0进行※（加乘）运算
（2）计算：-5※〔0※（-3）〕=
（3）若（4-2b）※（│a│-1）=0,求a+b的值

如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）

①方程x²﹣x﹣2＝0是倍根方程；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m²+5mn+n²＝0；

③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac.

对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”为： $\text{[math]}$ ，这里等式右边是实数运算.例如： $\text{[math]}$ .则方程 $\text{[math]}$ 的解是.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．

（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号）
①3x²+4 $\text{[math]}$ x+5＝0；②5x²+13 $\text{[math]}$ x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 $\text{[math]}$ +2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0必有实数根．

阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将 $\text{[math]}$ 化为分数：

（解析）解：设 $\text{[math]}$ ，

那么 $\text{[math]}$ （利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数），

所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．

所以， $\text{[math]}$ ．这样我们就将无限循环小数 $\text{[math]}$ 化为了分数．

（1）试着用上述方法将无限循环小数 $\text{[math]}$ 分别化为分数；
（2）将无限循环小数 $\text{[math]}$ 化为分数．

近几年来魔术风靡我国，小亮发明了一个魔术盒，把一个实数对（a，b）放入其中，就得到一个数为a²－3b＋1，如把（3，2）放入其中，就得到3²－3 $\text{[math]}$ 2＋1＝4，若把（－3，2）放入其中，得到数m，再把（m，4）放入其中，则得到的数是．

形如 $\text{[math]}$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $\text{[math]}$ ，那么当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . 17 B . 18 C . 19 D . 20

设 $\text{[math]}$ 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， $\text{[math]}$ 表示的两位数是45．

（1）尝试：
①当a＝1时，15²＝225＝1×2×100＋25；

②当a＝2时，25²＝625＝2×3×100＋25；

③当a＝3时，35²＝1225＝；

……
（2）归纳： $\text{[math]}$ 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 $\text{[math]}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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