题目

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1） 以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号） ①3x2+4 x+5＝0；②5x2+13 x+12＝0． （2） 若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 +2，求c的值． （3） 求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根． 答案： 【1】② 解： ∵ x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ 2 cx+b＝0的一个根， ∴ 代入x＝﹣1，得： a+b=2c ， 又 ∵ △ABC的周长为2 2 +2， ∴ a+b+c=22+2 ， ∴2c+c=22+2，∴c(2+1)=2(2+1)，   ∴c=2 证明：ax2+ 2 cx+b＝0， ∴Δ=(2c)2−4ab=2c2−4ab，∵c2=a2+b2，∴Δ=2(a2+b2)−4ab=2(a−b)2≥0，   ∴ 该方程必有实数根．

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