数学思想知识点题库

若x²+2x＝1，则2x²+4x+3的值是．

某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如下:

对于三个实,数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示这

三个数中最小的数,例如M{1,2,9}= $\text{[math]}$ ,min{1,2,-3}=-3,

min(3,1,1}=1.请结合上述材料,解决下列问题:

（1） ①MM{(-2)²,2²,-2²}=，
②min{sin30⁰,cos60⁰,tan45⁰}=;
（2）若min(3-2x,1+3x,-5}=-5,则x的取值范围为;
（3）若M{-2x,x²,3}=2,求x的值;
（4）如果M{2,1+x,2x}=min{2,1+x,2x},求x的值.

极坐标系也可用来确定点的位置﹒如图，过平面内一点O，作一条射线Ox，点M的极坐标就可以用线段OM的长度以及Ox转动到OM的角度 $\text{[math]}$ （规定取逆时针方向为角的正方向， $\text{[math]}$ ）来确定﹒已知OM=3， $\text{[math]}$ ，点M的极坐标表示为（3，45°），平面内现有一点N，满足∠MON=90°，ON=OM，则点N的极坐标可以表示为．

已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，分别交m、n于点A、B，当点B与点D重合时（如图1），连结PA，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．
（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向右平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB
的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图3），若两平行线m、n之间的距离为2k，求证：PA•PB=k•AB．

已知二次函数y＝x²+（2m﹣2）x+m²﹣2m﹣3（m是常数）的图象与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左边）．

（1）如果二次函数的图象经过原点．
①求m的值；

②若m＜0，点C是一次函数y＝﹣x+b（b＞0）图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；
（2）当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．

（1）问题发现：如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；并求写出 $\text{[math]}$ 的度数．
（2）类比探究：如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．请判断 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 在平面内旋转， $\text{[math]}$ 所在直线 $\text{[math]}$ 交于点．若 $\text{[math]}$ ，请直接写出当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时 $\text{[math]}$ 的长．

阅读某同学对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程，并解决问题：

解：设 $\text{[math]}$ ，

原式 $\text{[math]}$ （第一步）

$\text{[math]}$ （第二步）

$\text{[math]}$ （第三步）

$\text{[math]}$ （第四步）

（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________（填序号）；

A . 提公因式法 B . 平方差公式 C . 两数和的平方公式 D . 两数差的平方公式
（2）该同学在第三步用所设的的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？（填“能”或“不能”）.如果能，直接写出最后结果.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分行解.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，存在半径为2，圆心为(0，2)的 $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转90°得到线段 $\text{[math]}$ ，如果点M在线段 $\text{[math]}$ 上，那么称点M为 $\text{[math]}$ 的“限距点”．

（1）在点 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的“限距点”为；
（2）如果过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 上始终存在 $\text{[math]}$ 的“限距点”，画出示意图并直接写出a的取值范围；
（3） $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为1，如果 $\text{[math]}$ 上始终存在 $\text{[math]}$ 的“限距点”，请直接写出b的取值范围．

操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC ， AD＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ， D ， E在同一直线上，连接CE ．

（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
（3）拓广探索：如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．

如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE= $\text{[math]}$ AD，CE交AB于点F。若AF=1.2cm，则AB=

图片_x0020_100020

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在边AC上， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交BC于点G，点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线DG方向运动，过点P作 $\text{[math]}$ ，交射线AC于点E，以DE、EP为邻边作 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_1137036188

（1）线段 $\text{[math]}$ 的长为（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）
（2）求点F落在AB上时x的值；
（3）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位），当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式.
（4）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时 $\text{[math]}$ 的值.

若一个等腰三角形的三边长均满足方程x²-6x+8=0，则此三角形的周长为．

从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．

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（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求证： AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°；
①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由；

②若BC=3，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割线”CD，直接写出所有符合要求的∠B的度数．

如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，∠P=58°，C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB的度数为．

图片_x0020_100015

先阅读材料：

分解因式： $\text{[math]}$ .

解：令 $\text{[math]}$ ，

则 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ .

材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$ ；
（2）分解因式： $\text{[math]}$ ；
（3）证明：若 $\text{[math]}$ 为正整数，则式子 $\text{[math]}$ 的值一定是某个整数的平方.

阅读与理解：

小亮在学习完八年级下册后，结合前面所学知识对“求一元一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务：

数学复习笔记
专题：一元一次方程解法	时间：2021年6月×日
引例：求一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解
方法一：按照七年级解一元一次方程的步骤求解．	移项，合并同类项，未知数系数化1 ……
方法二：将方程移项，合并同类项得 $\text{[math]}$ ，如图，把此方程的解看成一个一次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标，由图可知该方程的解为 $\text{[math]}$ ．
方法三：方程 $\text{[math]}$ 的解可以看成两个一次函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点的横坐标，由图可知该方程的解为 $\text{[math]}$ ．

任务：

（1）方法二和方法三共同体现的一个数学思想是；（只填序号）
①数形结合思想；②公理化思想；③分类讨论思想；④整体思想
（2）依据“方法二”的思路，直接写出图一中对应的一次函数表达式为；
（3）参照“方法三”的思路，求解一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解时，请在图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．

小明对函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质进行了探究.已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为-3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0.探究过程如下，请补充完整.

（1）这个函数的表达式为；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 有三个交点，则 $\text{[math]}$ ；

②已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的解集：.