数学思想知识点题库

阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x²+x﹣2）=0，解方程x=0和x²+x﹣2=0，可得方程x³+x²﹣2x=0的解．

（1）问题：方程x³+x²﹣2x=0的解是x₁=0，x₂=，x₃=；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ =x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

如图矩形ABCO ，点A ， C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），点D（1，0），点P为边AB上一个动点，过点D ， P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E ，连接AM ，

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（1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径；
（2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径；
（3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，以x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），点B，与y轴交于点C（0，-3），作直线BC．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，P点到x轴和直线BC的距离分别为PD、PE．

（1）求抛物线解析式；
（2）当P点运动过程中满足PE=PD时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，从点B处沿着直线BC的垂线翻折PE得到FE'，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．

m是什么整数时，方程（m²﹣1）x²﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．

如图，在白纸上画两条长度均为acm且夹角为30°的线段AB、AC，然后你把一支长度也为acm的铅笔DE放在线段AB上，将这支铅笔以线段AB上的一点P为旋转中心旋转顺时针旋转一周．

（1）若P与B重合，当旋转角为时，这支铅笔与线段AB、AC围成的三角形是等腰三角形；
（2）点P从B逐渐向A移动，记t＝ $\text{[math]}$ ，
①若t＝1，当旋转角为30°、、、、210°、时这支铅笔与线段AB、AC共围成6个等腰三角形；

②当这支铅笔与线段AB、AC正好围成5个等腰三角形时，求t的取值范围；

③当这支铅笔与线段AB、AC正好围成3个等腰三角形时，直接写出t的取值范围．

如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点D出发，沿折线D→C→B作匀速运动，则△APD的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（　　）

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A .

B .

C .

D .

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点A．

（1）求点A的坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果抛物线与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC ，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D ，交AB于点E ，若CD＝ $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分面积为（）

A . 4﹣ $\text{[math]}$ B . 2﹣ $\text{[math]}$ C . 2﹣π D . 1﹣ $\text{[math]}$

已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）与x轴的一个交点．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与y轴的交点为C ，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点， $\text{[math]}$ ．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且 $\text{[math]}$ 时，求点F的坐标；

②取 $\text{[math]}$ 的中点N ，当m为何值时， $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ？

如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△ $\text{[math]}$ ，若∠BAC=90°，AB=AC= $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积等于．

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如图，在 □ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S_四边形_DEBC=2S_△_EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中符合题意结论的个数共有（）.

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A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为2，则它的周长等于（）

A . 8 B . 7 C . 8或5 D . 8或7

解分式方程 $\text{[math]}$ 时，在方程两边同乘 $\text{[math]}$ ，把原方程化为：2x-(x+1)=1，这一变形过程体现的数学思想主要是（）

A . 类比思想 B . 转化思想 C . 方程思想 D . 函数思想

阅读材料：我们知道， $\text{[math]}$ ，类似地，我们把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，则 $\text{[math]}$ ．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：

（1）把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，合并 $\text{[math]}$ 的结果是；
（2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x²与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x²＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x₁和x₂满足﹣1＜x₁＜0，1＜x₂＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（　　）

A . 公理化 B . 分类讨论 C . 数形结合 D . 由特殊到一般

全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（）

A . 代入法 B . 列举法 C . 从特殊到一般 D . 反证法

阅读理解：

转化思想是常用的数学思想之一.在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决.如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的.由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.

利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）.解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程.由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验.

例如：解方程 $\text{[math]}$

解：两边平方得： $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

经检验， $\text{[math]}$ 是原方程的根，

$\text{[math]}$ 代入原方程中不合理，是原方程的增根.

∴原方程的根是 $\text{[math]}$ .

解决问题：

（1）填空：已知关于x的方程 $\text{[math]}$ 有一个根是 $\text{[math]}$ ，那么a的值为；
（2）求满足 $\text{[math]}$ 的x的值；
（3）代数式 $\text{[math]}$ 的值能否等于8 ? 若能，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不能，请说明理由.

如图，点 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交半圆于点 $\text{[math]}$ .已知： $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ （当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 变化而变化的规律进行了探究.

下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量 $\text{[math]}$ 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值，请补全表格：

$\text{[math]}$ cm	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$\text{[math]}$ cm	8.00	5.81	4.38	3.35	2.55	1.85	1.21	0.60	0.00
$\text{[math]}$ cm	0.00	0.90	$\text{[math]}$	2.24	2.67	2.89	2.83	2.34	0.00

上表中 $\text{[math]}$ .（精确到0.1）

（2）在同一平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并画出函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象（ $\text{[math]}$ 已经画出）；
（3）结合函数图象解决问题：
①当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长都大于 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 长度的取值范围约是 ▲ ；（精确到0.1）

②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 能否在以 $\text{[math]}$ 为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）

阅读下列材料：已知实数m ， n满足 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．

解：设 $\text{[math]}$ ，则原方程变为 $\text{[math]}$ ，整理得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．

（1）已知实数x ， y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．

（1）解方程： $\text{[math]}$ ．

（2）阅读下列材料，并完成相应任务．

三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 $\text{[math]}$ 为例，说明如下：

将方程 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ ，然后画四个长为 $\text{[math]}$ ，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形．图中大正方形的面积可表示为 $\text{[math]}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即： $\text{[math]}$ ，