题目

如图，在 中， ， ， ，点D在边AC上， ，射线 交BC于点G，点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线DG方向运动，过点P作 ，交射线AC于点E，以DE、EP为邻边作 ，设点P的运动时间为 . （1） 线段 的长为（用含 的代数式表示） （2） 求点F落在AB上时x的值； （3） 设 与 的重叠部分图形的面积为 （平方单位），当 时，求 与 之间的函数关系式. （4） 当 时，直接写出 为等腰三角形时 的值. 答案： 【1】x 解：当点 F 落在 AB 上时， △AFD∽△ABC ∴ AFAB=ADAC=23 ∴AF=4 ∴2x=PD=AF=4  ， ∴ x=2 . 解：由上图知当 0<x≤1 时，阴影部分面积为 ▱DEPF 的面积，∴ S▱DEPF=PD•DE=2x•x=2x2 ，即 y=x⋅2x=2x2 ； 当 1<x≤2 时， y=CD•PD=2x 当 2<x≤3 时，如下图作 IM∥DC ,   又已知PF∥DE ∴ IM=CD=1 HI=AH−AI=2x−4   BH=6−2x NH=BH2=3−x   ∴重合部分面积 y=4+12×[1+(3−x)]×(2x−4)=−x2+6x−4 故答案为：当 1<x≤2 时， y=2x⋅1=2x ； 当 2<x≤3 时， y= −x2+6x−4 . 解：①当 BF=BP 时 PQ=QF=AD=2 PF=DE=x=4 ∴x=4 ②当 BF=FP 时 BR=PF−AD=DE−AD RF=x−2 ∴ BF2=FR2+BR2=(2x−6)2+(x−2)2=5x2−28x+40 PF=DE=x   ∴PF2=x2 ∴BF2=PF2   即 5x2−28x+40=x2 解得： x1=5,x2=2 （舍去） ③当 BP=FP 时 BT=AD=2   PT=2x−6 BP2=BT2+PT2=4x2−24x+40   PF2=DE2=x2 ∴ 4x2−24x+40=x2 解得： x1=12+263,x2=12−262 （舍去） 故x的取值为： x=4 ， x=12+263 ， x=5 .

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