相似三角形的判定与性质知识点题库

【问题】

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.

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（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；
（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；
（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.

如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1=∠2， $\text{[math]}$ .

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（1）试说明：△ABC ∽△ADE；
（2）试说明：AF•DF=BF•CF.

定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．

（1）如图，△ABC中，AC＞AB ， DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G ，垂足为H ，设AC＝b ， AB＝c ．
①求证：DF＝EF；

②若b＝6，c＝4，求CG的长度；
（2）若题（1）中，S_△_BDH＝S_△_EGH ，求 $\text{[math]}$ 的值．

有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．

（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁ ，边AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．

如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若AD= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ，求线段BC的长．

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC= $\text{[math]}$ ，则BF=2；正确的结论有（）个

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A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABC的中位线，点F是BC边上的一个动点，连结AF交BD于点H，交DE于点G。

（1）求△BDE的面积；
（2）当四边形DCFH与四边形BEGH的面积相等时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）以点F为圆心，FB为半径作⊙F，当 $\text{[math]}$ 的值满足什么条件时，⊙F与线段DE有且只有一个交点。

如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线.

（1）求证：∠CDE＝ $\text{[math]}$ ∠BAC；
（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径.

如图，在△ABC中，点DE分别在ABAC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6.则线段CD的长为

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四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接四边形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为( )

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

如图，矩形 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向内作等边三角形（图1）；分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB.

（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且S_△DBE＝2，求△ABC的面积.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为B，且 $\text{[math]}$ ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，垂足为N．若 $\text{[math]}$ ，则MN的长为．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为位似中心经过位似变换得到的，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长比是 $\text{[math]}$ ，则它们的面积比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD²=BD⋅CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.

（1）如图2， $\text{[math]}$ 的顶点是 $\text{[math]}$ 网格图的格点，请仅用直尺画出、（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；
（2） $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
（3）如图3， $\text{[math]}$ 是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D.若点H是 $\text{[math]}$ 中CD边上的“好点”.
①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， ⊙O的半径为r，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（1）【证明体验】
如图1， $\text{[math]}$ 是等腰 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）【拓展延伸】
如图3， $\text{[math]}$ 的半径为5，弦 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 10或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或10 D . 以上答案都不对

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