相似三角形的判定与性质知识点题库

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF=BD.BF的延长线交AC于点E。

（1）求证：AB·AD=AF·AC
（2）若∠BAC=60°.AB=4，AC=6，求DF的长；
（3）若∠BAC=60°，∠ACB=45°，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°.

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（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；
（2）求证：BD＝AB+AE.

如图，在ΔABC中，若∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长为.

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如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．

如图，已知 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）若 $\text{[math]}$ 的半径为4， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求证：DF是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点E为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿BE折叠，使点A落在点D处，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的长为.

已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．

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（1）证明： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$
（2）求证： $\text{[math]}$ ；

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，则 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积之比为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知正方形 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 延长线上，点F在 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E.

（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值.

瑞士数学家菜昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是18世纪数学界最杰出的人物之一.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线.

（定理证明）

已知：如图所示，在△ABC中，点G，O，H分别是△ABC的重心、外心、垂心.

求证：G，O，H三点共线.

证明：作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD，CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点G′.

…

（1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明.
（2）在（定理证明）的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由.
（3）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3， $\text{[math]}$ ），请直接写出△ABC的欧拉线的函数解析式.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O.

（1）求证：AB是⊙O的切线.
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠ADC＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 $\text{[math]}$ ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD.

（1）如图2，若点A是劣弧 $\text{[math]}$ 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；

②求▱ABCD的面积.
（2）若点A运动到优弧 $\text{[math]}$ 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；

②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.

如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.

（1）在图1中作出 $\text{[math]}$ 边上的点E，使得 $\text{[math]}$ ；
（2）在图2中作出 $\text{[math]}$ 边上的点F（不与点B重合），使得 $\text{[math]}$ ；
（3）在图3中作出 $\text{[math]}$ 边上的点G，使得 $\text{[math]}$ .

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 $\text{[math]}$ 的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC.给出下列结论：

①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD＝CQ•CB.

其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

如图，D、E分别在△ABC的边AC、AB上，若△ADE∽△ABC，AD=2，AE=3，BE=7，则AC的长为．

如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于B，D两点，且AC=BC.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点，作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交双曲线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点 $\text{[math]}$ 的坐标.

在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图1 图2

（1）如图1，①求证： $\text{[math]}$ ；
②求 $\text{[math]}$ 的正切值；
（2）如图2，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以1个单位每秒速度，沿折线 $\text{[math]}$ 运动，同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以2个单位每秒速度，沿射线 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，以 $\text{[math]}$ 为斜边作 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且图中存在与 $\text{[math]}$ 相似的三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值．