相似三角形的判定与性质知识点题库

综合与实践

数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.

动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC进行以下操作：

第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；

第二步：将△ABC沿折痕DE展开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P.

数学思考：

（1）求DC的长；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
问题解决：
（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；

②如图3，当GF经过点B时，AM的长为

③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）

如图,在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= $\text{[math]}$ CD

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（1）求证:△ABF∽△CEB
（2）若△DEF的面积为2,求△CEB的面积

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE²＝FG•FD.

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定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为 $\text{[math]}$ ，那么这个三角形叫做“半正切三角形”.

（1）如图①，正方形网格中，已知格点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在格点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 能构成“半正切三角形”的是点；
（2）如图②， $\text{[math]}$ 为“半正切三角形”，点 $\text{[math]}$ 在斜边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，所得射线交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
①小彤发现：若 $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 一定为“半正切三角形”.请判断“小彤发现”是否正确？并说明理由；

②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S_△_AGM：S_△_DEC＝1：4．正确的个数是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图， $\text{[math]}$ 内两条互相垂直的弦 $\text{[math]}$ （不是直径）相交于点 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．
（2）若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，二次函数y＝ax²+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C ．

（1）求该函数的表达式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC ，垂足为点Q ，连接PC ．
①求线段PQ的最大值；

②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

已知正方形ABCD，点M边AB的中点.

（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.

①求证：BE=CF；

②求证：BE²=BC•CE.
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE²=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，直接写出tan∠CBF的值.

如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是．

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如图， $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 边上一点 $\text{[math]}$ 为圆心作圆， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别切于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 另一交点为 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°。

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x．AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积

如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点（B点在A点的左边）时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

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如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S_△_DOE：S_△_COA=1：9，则S_△_BDE：S_△_CDE的值是（）.

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A . 1：2 B . 1：3 C . 1：4 D . 2：5

如图，在△ABC中，∠AED＝∠B ，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，则BC的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，一副三角板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 如图摆放，使点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点重合， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ．将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是.

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=4， $\text{[math]}$ ，求AB的长．

如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S_△_DOE：S_△_COA=1：25，则S_△_BDE与S_△_CDE的比是（　　）

A . 1：3 B . 1：4 C . 1：5 D . 1：25

如图，线段 CD∥AB，AD与BC交于点E．

（1）求证； $\text{[math]}$ ；
（2）过点E作EF∥AB，交AC于点F，如果AB=5，EF=2，求CD的长．

如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $\text{[math]}$ 组成，恰好拼成一个大正方形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点P.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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