相似三角形的判定与性质知识点题库

如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度4的地方（即同时使OA＝4OD，OB＝4OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3，则AB的长是（）

A . 12 B . 9 C . 8 D . 6

（1）【尝试探究】
如图1，等腰Rt△ABC的两个顶点B，C在直线MN上，点D是直线MN上一个动点（点D在点C的右边），BC=3，BD=m，在△ABC同侧作等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，EF⊥MN于点F，连结CE.

①求DF的长；

②在判断AC⊥CE是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：先证CF=EF，求出∠ECF=45°，从而证得结论成立.

思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC²+CE²=AE² ，从而证得结论成立.

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程.(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)
（2）【拓展探究】
将(1)中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为的直角三角形，如图2，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，BC=3，BD=m，当4≤m≤6时，求CE长的范围.

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A₁处，则点C的对应点C₁的坐标为.

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A₁ ，与y轴交于点A₂ ，过点A₁作x轴的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点B₁ ，过点A₁作A₁B₁的垂线交y轴于点B₂ ，此时点B₂与原点O重合，连接A₂B₁交x轴于点C₁ ，得到第1个 $\text{[math]}$ ；过点A₂作y轴的垂线交l₂于点B₃ ，过点B₃作y轴的平行线交l₁于点A₃ ，连接A₃B₂与A₂B₃交于点C₂ ，得到第2个 $\text{[math]}$ ……按照此规律进行下去，则第2019个 $\text{[math]}$ 的面积是.

如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE＝BF＝CG＝DH＝x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS.用x的代数式表示四边形PQRS的面积S.则S＝.

如图，BC是⊙O的切线，D是切点.连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C.若BD＝8，BE＝4，则AC＝.

如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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如图，四边形ABCD是菱形，E为对角线BD的延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∠BAE=45°，则AB的长为.

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在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，点 $\text{[math]}$ 矩形内部一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（1）如图一，若满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图二，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的运动，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图三，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为矩形内部一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由.

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）直线l切⊙O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F，点G.
①若∠BAC＝45°，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若⊙O半径的长为r，△ABC的面积为△CDF的面积的12倍，求BG的长（用含r的代数式表示）.

一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线.

（1）如图1，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为四边形 $\text{[math]}$ 的相似对角线.
（2）在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的相似对角线，求 $\text{[math]}$ 的长.
（3）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是线段 $\text{[math]}$ （不取端点A.B）上的一个动点，点F是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，若 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的相似对角线，求 $\text{[math]}$ 的长.（直接写出答案）

如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，使 $\text{[math]}$ 点落在 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

（1）写出点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相似，若是，请给出证明；
（3）求 $\text{[math]}$ 点的坐标．

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，CD交AE于点F．

（1）求证：△AEB∽△CDB．
（2）若AE⊥CD，求AC：BC的值．
（3）若DF＝2EF＝4，求AF的值．

在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是米．

已知，如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上AE $\text{[math]}$ CD，DE $\text{[math]}$ AB，过点 $\text{[math]}$ 作CF $\text{[math]}$ AD，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，联结 $\text{[math]}$ ．