圆的综合题知识点题库

如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA= $\text{[math]}$ ，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．

（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE， $\text{[math]}$ 所围成区域的面积．（其中 $\text{[math]}$ 表示劣弧，结果保留π和根号）

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB= $\text{[math]}$ ，BC=2，求⊙O的半径．

在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．

已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），

（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；
（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；
（3） ⊙B的半径为 $\text{[math]}$ ，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．

如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且弧AC为半圆的 $\text{[math]}$ ，设扇形AOC，△COB，弓形BmC的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，则下列结论正确的是（）

A . S₁＜S₂＜S₃ B . S₂＜S₁＜S₃ C . S₂＜S₃＜S₁ D . S₁＜S₃＜S₂

如图1，等腰△ABC中，AC=BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF=DO+OP；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC= $\text{[math]}$ ，CG=4，求OP的长．

如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，BC=8．

（1）如图1，连结OA．
①求证：OA⊥BC；②求腰AB的长．
（2）如图2，点P是边BC上的动点（不与点B，C重合），∠APE=∠B=∠C，PE交AC于E．
①求线段CE的最大值；

②当AP=PC时，求BP的长．

如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.

（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ= $\text{[math]}$ 时,求 $\text{[math]}$ 的长(结果保留 $\text{[math]}$ )；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

如图，线段AB为的直径，点C、E在上，弧BC=弧CE，连接BE、CE，过点C作CM∥BE交AB的延长线于点M.

（1）求证：直线CM是圆O的切线；
（2）若sin∠ABE= $\text{[math]}$ ，BM=4，求圆O的半径.

已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线上取一点P，PG与⊙O相切于点G，连接AG交CD于点F.

（1）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；
（2）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝2 $\text{[math]}$ ，求PF的长.

如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，连结AC，DE.

（1）当∠APB＝30°时，求∠B的度数；
（2）求证：AB²＝BC·PB；

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ 和点B．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值及点C的坐标；
（2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，直接写出点P的坐标．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的⊙O交 $\text{[math]}$ 于点D，过点D的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是⊙O的切线；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.

（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长.

已知锐角△ABC内接于⊙O ， AD⊥BC于点D ，连接AO ．

图片_x0020_100020

（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，CE⊥AB于点E ，交AD于点F ，过点O作OH⊥BC于点H ，求证：AF＝2OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO ， tan∠BAO＝ $\text{[math]}$ ，BC＝ $\text{[math]}$ ，求AC的长．

（发现问题）爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）.动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值

（解决问题）小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE.

图片_x0020_100026

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）求线段OC的最大值.
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
（4）如图③，BC＝4 $\text{[math]}$ ，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值.

三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

图片_x0020_100025

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，则∠E=.（请用含α的代数式表示）
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O， $\text{[math]}$ ，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.求∠AED的度数.

如图， $\text{[math]}$ 是⊙O的内接三角形， $\text{[math]}$ 是⊙O的直径，点B是⊙O上的一点， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 的延长线上，射线 $\text{[math]}$ 经过点C， $\text{[math]}$ ；

（1）求证： $\text{[math]}$ 是⊙O的切线；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有．

①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；

②I到△ABC三个顶点的距离相等；

③∠BIC=90°+ $\text{[math]}$ ∠BAC；

④点D是△BIC的外心．

圆的综合题 知识点题库

圆的综合题知识点题库