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如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ=1；② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；③S_△PDQ= $\text{[math]}$ ；④cos∠ADQ= $\text{[math]}$ ，其中正确结论是（填写序号）.

如图，直线y=x+b（b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，点C（1，0），过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D．

（1）直接写出点A、D的坐标；（用含b的式子表示）

（2）求点P的坐标；

（3）试说明：直线BP与⊙D相切．

已知，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点M、N分别在线段OC、CD上，AM的延长线与射线ON相交于点E，与弦CD相交于点F．

（1）如图1，若DN=OM，求证：AM=ON；
（2）如图2，点P是弦CD上一点，若AP=OP，∠APO=90°，求∠COP的度数；
（3）在（1）的条件下，若AB=20，cos∠AOC= $\text{[math]}$ ，当点E在ON的延长线上，且NE=NF时，求线段EF的长．

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）
过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．

（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

平行四边形ABCD的对角线相交于点M,△ABM的外接圆交AD于点E，且圆心O恰好落在AD边上，连结ME，若∠BCD=45°

（1）求证：BC为⊙O切线；
（2）求∠ADB的度数；
（3）若朋ME=1，求AC的长．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t.

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（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM.
（2）在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形.

②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长.

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是弦，点E在圆外， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）直接回答：①已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？
②连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 等于多少度时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形？

如图，已知等边 $\text{[math]}$ ，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作 $\text{[math]}$ 于点F，

（1）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若等边 $\text{[math]}$ 的边长为8，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长.

在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为“智慧三角形”.

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（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上画出满足条件的点C，使 $\text{[math]}$ 为“智慧三角形”，并说明理由；
（2）如图2， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，以点O为圆心， $\text{[math]}$ 的半径为1画圆，M为 $\text{[math]}$ 边上的一动点，过点M作 $\text{[math]}$ 的一条切线，切点为N，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点Q是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点P的坐标.

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， $\text{[math]}$ ，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．

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（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．

如图所示， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于D，连结 $\text{[math]}$ .过B作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于E.

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
（3）若 $\text{[math]}$ 的长是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的长.

如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点E，F同时分别从点AB出发，分别沿着射线 AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动时间为t.

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（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （直接写出答案）.
（2）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM.
（3）在整个运动过程中，
①连接CM，当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形；

②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围直接写出答案.

如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC.

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（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长.

如图，已知在扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ ．P为弧 $\text{[math]}$ 上的动点，过点P作 $\text{[math]}$ 于点M ， $\text{[math]}$ 于点N ，点M ， N分别在半径 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．点D是 $\text{[math]}$ 的外心，则点D运动的路径长为．

对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．

已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）直线l经过点A， $\text{[math]}$ 的半径为2，在点A，C，D中，直线l和 $\text{[math]}$ 的“关联点”是；
（2） G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有“关联点”，求 $\text{[math]}$ 半径r的取值范围；
（3） $\text{[math]}$ 的圆心为点 $\text{[math]}$ ，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若 $\text{[math]}$ 和直线m的“关联点”在直线 $\text{[math]}$ 上，请直接写出b的取值范围．

如图， $\text{[math]}$ 是⊙O的内接三角形， $\text{[math]}$ 于点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长；
（3）若点G是AB的中点，当点O在DG上时，探究BF与FD存在的数量关系，并说明理由．

在半圆O中，AB为直径，AC ， AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E ，若AE＝DE ，求证：AC＝2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC ，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，C为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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