圆的综合题知识点题库

如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 $\text{[math]}$ CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．

（1）求月牙形公园的面积；
（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．

如图，点P为正方形ABCD的边CD上一点，BP的垂直平分线EF分别交BC、AD于E、F两点，GP⊥EP交AD于点G，连接BG交EF于点 H，下列结论：①BP=EF；②∠FHG=45°；③以BA为半径⊙B与GP相切；④若G为AD的中点，则DP=2CP．其中正确结论的序号是（　　）

A . ①②③④ B . 只有①②③ C . 只有①②④ D . 只有①③④

如图，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，点E是线段AB上的动点（不与端点重合），点F是线段AC上的动点，连接CE、EF，若在点E、点F的运动过程中，始终保证∠CEF=∠B．

（1）求证：∠AEF=∠BCE；
（2）当以点C为圆心，以CF为半径的圆与AB相切时，求BE的长；
（3）探究：在点E、F的运动过程中，△CEF可能为等腰三角形吗？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣ $\text{[math]}$ x，y= $\text{[math]}$ x的图象分别是直线l₁ ， l₂ ，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l₁ ， l₂中的两条相切．例如（ $\text{[math]}$ ，1）是其中一个圆P的圆心坐标．

（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；
（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．

如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC= $\text{[math]}$ ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是弧AC的中点，连结BD交AC于点E，过D点作⊙O的切线交BC的延长线于F．

（1）求证：∠FDB = ∠AED.
（2）若⊙O 的半径为5，tan∠FBD＝ $\text{[math]}$ ，求CF的长．

探究与应用．试完成下列问题：

（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，作∠POQ＝90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²＝PQ²；
（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ＝90°，试探索上述结论AP²+BQ²＝PQ²是否仍成立；
（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．

如图，⊙O半径为1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一点D在直线AB上，若AC= $\text{[math]}$ ，OB=BD.

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积.（结果保留π）

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和过点 $\text{[math]}$ 的切线互相垂直，垂足为点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ .弦 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交直径 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
（2）探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的大小关系，并加以证明；
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③ $\text{[math]}$ ；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．

图片_x0020_100011

如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C ， E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F ．

图片_x0020_100033

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF ， EF＝4，求阴影部分的面积．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ .以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ .恰好经过点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_1880242697

（1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线.
（2）在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC ， BC及AB的延长线相交于点D ， E ， F ，且BF=BC ， ⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G ，交⊙O于点H ，连接BD ， FH ．

（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=1，求HG·HB的值．

如图，半径为7的 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为半径 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 最大为10，以 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）请直接写出 $\text{[math]}$ 的长；
（2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中， $\text{[math]}$ 的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出 $\text{[math]}$ 的长；
（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写 $\text{[math]}$ 的长；
（4）请直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，O是 $\text{[math]}$ 的中点，以O为圆心，在 $\text{[math]}$ 的下方作半径为3的半圆O，交 $\text{[math]}$ 于点E，F．

（1）思考：连接 $\text{[math]}$ ，交半圆O于点G、H，求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）探究：将线段 $\text{[math]}$ 连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆 $\text{[math]}$ ，设其直径为 $\text{[math]}$ ，旋转角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）；
①设 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为m，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

②若半圆 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 相切，或半圆 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 相切，设切点为R，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果保留 $\text{[math]}$ ）

已知AB、CD为 $\text{[math]}$ 的两条弦， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证：弧 $\text{[math]}$ 弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与 $\text{[math]}$ 相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求CH长．

如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；② $\text{[math]}$ ；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝ $\text{[math]}$ AB；④若M为 $\text{[math]}$ 的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①② D . ①②③④

如图1，BC是⊙O的直径，点A，P为其异侧的两点（点A、P均不与点B、C重合），过点A作AQ⊥AP，交PC的延长线于点Q，连接AQ交⊙O于点D．

（1）求证：△APQ∽△ABC．
（2）如图2，若AB＝3，AC＝4.当点C为弧PD的中点时，求CQ的长．

$\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径；
（2）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 切线，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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