圆的综合题知识点题库

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（　　）

（1）AB+CD=AD；

（2）S_△_BCE=S_△_ABE+S_△_DCE；

（3）AB•CD= $\text{[math]}$ ；

（4）∠ABE=∠DCE．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）
设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= $\text{[math]}$ ，E是的中点，求EG•ED的值．

【问题探究】

已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．

（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△，从而可以得到：PA•P B=P C•P D．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA²=PC•PD．
（3）【简单应用】
如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系；当PA=4 $\text{[math]}$ ，EF=2，则PE=．
（4）【拓展延伸】如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B 两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE=BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）

如图

（1）如图①，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB，并说明理由；
（2）如图②，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB＜∠ACB，画出∠APB，并说明理由；
问题解决：
（3）如图③，已知足球球门宽AB约为5 $\text{[math]}$ 米，一球员从距B点5 $\text{[math]}$ 米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由．

阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范围．

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的直线PC垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，弦CE平分∠ACB，交AB于点F.

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（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）当∠P＝30°，AB＝10时，求PF的长.

如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，以AB为直径的⊙O交BC于点D.过点D的⊙O的切线垂直AC于点F，交AB的延长线于点E.

（1）连接OD，则OD与AC的位置关系是.
（2）求AC的长.
（3）求sinE的值.

已知四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 于E，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P.

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（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，作 $\text{[math]}$ 于F，交 $\text{[math]}$ 于H，连接B，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长.

阅读下列材料，然后解答问题．

经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．

如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S₁ ，正方形ABCD的面积为S₂ ．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、 $\text{[math]}$ 及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S．

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（1）当OM经过点A时(如图①)，则S、S₁、S₂之间的关系为：(用含S₁、S₂的代数式表示)；
（2）当OM⊥AB于G时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.

如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O ， AD平分∠CAB交 $\text{[math]}$ 于点D ，连接CD ， OD ， BD ．下列结论中正确的是（）

A . AC∥OD B . $\text{[math]}$ C . △ODE∽△ADO D . $\text{[math]}$

如图所示，圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若圆 $\text{[math]}$ 的半径为10cm， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点C，D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点E，P为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ：
（2）若点E是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C．

（Ⅰ）四边形 $\text{[math]}$ 外接圆的半径为．

（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在圆上，并简要说明点 $\text{[math]}$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

对于平面内的图形G₁和图形G₂ ，记平面内一点P到图形G₁上各点的最短距离为d₁ ，点P到图形G₂上各点的最短距离为d₂ ，若d₁＝d₂ ，就称点P是图形G₁和图形G₂的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B（0， $\text{[math]}$ ）．

（1）在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三点中，点A和点B的等距点是；
（2）已知直线 y=2．
①若点A和直线y=2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；

②若直线y=b上存在点A和直线y＝2的等距点，求实数b的取值范围；
（3）记直线AB为直线l₁ ，直线l₂： $\text{[math]}$ ，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l₁和直线l₂的等距点，以及n个直线l₁和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求r的取值范围．

对于平面内的图形 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，记平面内一点 $\text{[math]}$ 到图形 $\text{[math]}$ 上各点的最短距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到图形 $\text{[math]}$ 上各点的最短距离为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，就称点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ 的一个“等距点” ．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的等距点是；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ ．
①若点 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的等距点在 $\text{[math]}$ 轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；

②若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 的等距点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）记直线 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为圆心作半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ 个直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的等距点，以及 $\text{[math]}$ 个直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴的等距点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，M为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求BF的长．

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．

（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．

如图，点P是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是一条弦，点C是 $\text{[math]}$ 上一点，与点D关于 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，且 $\text{[math]}$ .给出下面四个结论：① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ ； ④ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线.其中所有正确结论的序号是.

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在 $\text{[math]}$ 的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF.

（1）求证：OF＝ $\text{[math]}$ BG；
（2）若AB＝4，求DC的长．

一个玻璃球体近似半圆 $\text{[math]}$ 为直径，半圆 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处有个吊灯 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$

（1）如图①， $\text{[math]}$ 为一条拉线， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆 $\text{[math]}$ 相切， $\text{[math]}$ 为切点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为入射光线， $\text{[math]}$ 为反射光线， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长度．
（3）如图③， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为入射光线， $\text{[math]}$ 为反射光线交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 的过程中，求 $\text{[math]}$ 点的运动路径长．

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