题目

如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交 于点D，过点D的直线 交 于点F，交 的延长线于点E，且 . （1） 求证： 是⊙O的切线； （2） 当 时，求 的长. 答案： 证明：如图，连接 OD ， AD ， ∵ AB 是直径， ∴ ∠ADB=90° . ∴ AD⊥BC . ∵ AB=AC ， ∴ ∠BAC=2∠BAD ， ∴ ∠BAC=2∠BDE ， ∴ ∠BDE=∠BAD . ∵ OA=OD ， ∴ ∠BAD=∠ADO . ∵ ∠ADO+∠ODB=90° ， ∴ ∠BDE+∠ODB=90° . ∴ ∠ODE=90° ，即 DF⊥OD . 又 OD 是 ⊙O 的半径， ∴ DF 是 ⊙O 的切线. 解：∵ AB=AC,AD⊥BC ， ∴ BD=CD . ∵ BO=AO ， ∴ OD//AC . ∴ △EOD∽△EAF ， ∴ ODAF=EOEA . 设 OD=x ，∵ CF=2 ， BE=3 ， ∴ OA=OB=x ， AF=AC−CF=2x−2 ， EO=x+3 ， EA=2x+3 . ∴ x2x−2=x+32x+3 . 解得 x=6 . 经检验 x=6 是所列分式方程的解. ∴ AF=2x−2=10 .

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