二次函数图象与一元二次方程的综合应用知识点题库

某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

已知二次函数y=kx²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ （k是常数）．

（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；
（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；
（3）若抛物线y=kx²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与x轴交于A（x_A ， 0）、B（x_B ， 0）两点，且x_A＜x_B ， x_A²+x_B²=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q₁（x₁ ， y₁）、Q₂（x₂ ， y₂）两点，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值，并写出探究过程．

已知二次函数y=a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
①当△ABC的面积为1时，求a的值．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(x₁ ， 0)与(x₂ ， 0)，其中x₁＜x₂ ，方程ax²＋bx＋c－a＝0的两根为m，n(m＜n)，则下列判断正确的是( )

A . m＜n＜x₁＜x₂ B . m＜x₁＜x₂＜n C . x₁＋x₂＞m＋n D . b²－4ac≥0

已知抛物线 $\text{[math]}$ (a、b、c是常数， $\text{[math]}$ )的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

（1） b=；(用含a的代数式表示)
（2）当 $\text{[math]}$ 时，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的范围内有解，求c的取值范围；
（3）若抛物线过点( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，当 $\text{[math]}$ 时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．

如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：① $\text{[math]}$ ≥0；② $\text{[math]}$ ；③关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 无实数根；④ $\text{[math]}$ 的最小值为3.其中正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），当 $\text{[math]}$ 时，求k的值；
（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S_△_POQ：S_△_BOQ=1：2时，求出点P的坐标．
（坐标平面内两点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）之间的距离MN= $\text{[math]}$ ）

新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：ΔACD与△ABE为偏等积三角形；
（3）综合探究
如图3，二次函数y= $\text{[math]}$ x²-x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在该二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形?若存在，请求出点D的坐标；不存在，请说明理由.

对于代数式ax²+bx+c(a≠0)，下列说法正确的是（）

①如果存在两个实数p≠q，使得ap²+bp+c=aq²+bq+c，则a $\text{[math]}$ +bx+c=a（x-p）（x-q）②存在三个实数m≠n≠s，使得am²+bm+c=an²+bn+c=as²+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c

A . ③ B . ①③ C . ②④ D . ①③④

已知：关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0。

（1）求证：m取任何实数时，方程总有实数根。
（2）若二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称。
①求二次函数y₁的解析式；

②已知一次函数y₂=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立。
（3）在（2）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式。

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值.

已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两个根，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知抛物线y=（m﹣2）x²+2mx+m+3与x轴有两个交点．

（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 其中正确的有（）

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A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

已知，抛物线y＝ax²＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax²＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax²＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（）

A . 0 B . ﹣3 C . ﹣6 D . ﹣8

二次函数y＝x²﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．

若方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，那么二次函数 $\text{[math]}$ 的图象的对称轴是直线 $\text{[math]}$

如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax²+bx+c＝0的解是（　　）

A . 两个正根 B . 两个负根 C . 一个正根，一个负根 D . 0和一个正根

二次函数 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数，且 $\text{[math]}$ ）中的x与y的部分对应值如表.下列结论：① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时，y的值随x值的增大而减小③3是方程 $\text{[math]}$ 的一个根；④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .其中正确的个数为（）

x	…	-1	0	1	3	…
y	…	-1	3	5	3	…

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

抛物线y＝x²＋mx＋（m﹣1）与x轴交于点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0），x₁＜x₂ ，与y轴交于点C，且满足x₁²＋x₂²＋x₁x₂＝7，则△ABC的面积为.

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