题目

如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C （1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值. 答案：解：将 A(1,0) 、 B(3,0) 代入 y=ax2+bx+3 ，得： {a+b+3=09a+3b+3=0 ，解得： {a=1b=−4 ， ∴ 此二次函数解析式为 y=x2−4x+3 . 解： ΔBCD 为直角三角形，理由如下： ∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1 ， ∴ 顶点 D 的坐标为 (2,−1) . 当 x=0 时， y=x2−4x+3=3 ， ∴ 点 C 的坐标为 (0,3) . ∵ 点 B 的坐标为 (3,0) ， ∴BC=(3−0)2+(0−3)2=32 ， BD=(2−3)2+(−1−0)2=2 ， CD=(2−0)2+(−1−3)2=25 . ∵BC2+BD2=20=CD2 ， ∴∠CBD=90° ， ∴ΔBCD 为直角三角形. 解：设直线 BC 的解析式为 y=kx+c(k≠0) ，将 B(3,0) ， C(0,3) 代入 y=kx+c ，得： {3k+c=0c=3 ，解得： {k=−1c=3 ， ∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3 ， ∴ 将直线 BC 向上平移 t 个单位得到的直线的解析式为 y=−x+3+t . 联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得： {y=−x+3+ty=x2−4x+3 ，解得： {x1=3+9+4t2y1=3+2t−9+4t2 ， {x2=3−9+4t2y2=3+2t+9+4t2 ， ∴ 点M的坐标为 (3+9+4t2 ， 3+2t−9+4t2) ，点 N 的坐标为 (3−9+4t2 ， 3+2t+9+4t2) . ∵ 点 A 的坐标为 (1,0) ， ∴AM2=(3+9+4t2−1)2+(3+2t−9+4t2−0)2=t2+5t+7−(1+t)9+4t ， AN2=(3−9+4t2−1)2+(3+2t+9+4t2−0)2=t2+5t+7+(1+t)9+4t ， MN2=(3−9+4t2−3+9+4t2)2+(3+2t+9+4t2−3+2t−9+4t2)2=18+8t . ∵ΔAMN 为直角三角形， ∴ 分三种情况考虑： ①当 ∠MAN=90° 时，有 AM2+AN2=MN2 ，即 t2+5t+7−(1+t)9+4t+t2+5t+7+(1+t)9+4t=18+8t ，整理，得： t2+t−2=0 ，解得： t1=1 ， t2=−2 （不合题意，舍去）； ②当 ∠AMN=90° 时，有 AM2+MN2=AN2 ，即 t2+5t+7−(1+t)9+4t+18+8t=t2+5t+7+(1+t)9+4t ，整理，得： t2−2t−8=0 ，解得： t1=4 ， t2=−2 （不合题意，舍去）； ③当 ∠ANM=90° 时，有 AN2+MN2=AN2 ，即 t2+5t+7+(1+t)9+4t+18+8t=t2+5t+7−(1+t)9+4t ，整理，得： 9+4t(1+t+9+4t)=0 . ∵t>0 ， ∴ 该方程无解（或解均为增解）. 综上所述：当 ΔAMN 为直角三角形时， t 的值为1或4.

数学试题推荐

数学试卷推荐