题目

新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形. （1） 初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形； （2） 理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：ΔACD与△ABE为偏等积三角形； （3） 综合探究如图3，二次函数y= x2-x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在该二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形?若存在，请求出点D的坐标；不存在，请说明理由. 答案： 解：应作腰上的中线，则分成的两个三角形符合题意.如图 解：过点B作BH⊥EA，交EA的延长线于点H，∴∠BHA=∠CDA=90°∵∠BAH=∠1=90°-∠CAH，又∵AC=AB∴△BHA≌△CDA.∴BH=CD.∵AD=AE，∴ 12 AE·BH= 12 AD·CD∴ S△ABE=S△ACD∵△ACD是直角三角形，∴∠1<90°∵∠1+∠2=180°，∴∠2>90°，∴△ABE是钝角三角形∴△ABE与△ACD不全等.∴△ABE与△ACE是偏等积三角形 解：设点D的坐标为(x，y)△ABC与△ABD是偏等积三角形，∴△ABC与△ABD同底等高∴|y|=5①当y=5时，y= 12 x2- 32 x-5=5，解得x= 32±892∴点D的坐标为 (32−892，5)，(32+892，5)此时△ABC与△ABD不全等，成立；②当y=-5时，y= 12 x2- 32 x-5=-5，解得x1=0，x2=3此时△ABC≌△ABD全等，不成立，应舍去综上所述，当点D的坐标为 (32−892，5)或(32+892，5) 时，△ABC与△ABD是偏等积三角形.

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