一元二次方程的实际应用-几何问题知识点题库

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（ $\text{[math]}$ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为．

如图所示， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿 $\text{[math]}$ 边向 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动．如果 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，线段 $\text{[math]}$ 能否将 $\text{[math]}$ 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若 $\text{[math]}$ 点沿射线 $\text{[math]}$ 方向从 $\text{[math]}$ 点出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向从 $\text{[math]}$ 点出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，问几秒后， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m² ，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为 $\text{[math]}$ m，由题意列得方程．

改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ $\text{[math]}$ ）16 $\text{[math]}$ ，宽（ $\text{[math]}$ ）9 $\text{[math]}$ 的矩形场地 $\text{[math]}$ 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 $\text{[math]}$ 平行，另一条与 $\text{[math]}$ 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 $\text{[math]}$ ，则小路的宽应为多少？

用长1米的金属丝制成一个矩形框子，框子各边长取多少时，框子的面积是500cm²？

将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4 $\text{[math]}$ 的小正方形，做成一个无盖的盒子，如下图所示，已知盒子的容积是400 $\text{[math]}$ ，求原铁皮的边长.

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伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉( Thabit ibn Qurra，830-890)在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法。例如：可以用如图来解关于x的方程 $\text{[math]}$ ，其中ABFE为长方形，ABCD为正方形，且DE=m，BF×CD=n，则方程 $\text{[math]}$ 的其中一个正根为（）

A . DE的长 B . AB的长 C . AE的长 D . BE的长

如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm² ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )

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A . x²＋130x－1 400＝0 B . x²－65x－350＝0 C . x²－130x－1 400＝0 D . x²＋65x－350＝0

如图1，有一张长 $\text{[math]}$ 宽 $\text{[math]}$ 的长方形硬纸片，裁去角上 $\text{[math]}$ 个小正方形和 $\text{[math]}$ 个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.

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（1）若纸盒的高是 $\text{[math]}$ cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是 $\text{[math]}$ ，求纸盒的高.

某农场要建一个饲养场（矩形 $\text{[math]}$ ）两面靠现有墙（ $\text{[math]}$ 位置的墙最大可用长度为21米， $\text{[math]}$ 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 $\text{[math]}$ ）的一边 $\text{[math]}$ 长为x米.

（1）饲养场另一边 $\text{[math]}$ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若饲养场 $\text{[math]}$ 的面积为180平方米，求x的值；
（3）饲养场 $\text{[math]}$ 的面积能围成面积比 $\text{[math]}$ 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m，种植花草的区域的面积为60 m² ，设水池半径为 $\text{[math]}$ m，根据题意可列出方程为

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某公司计划用32m的材料沿墙（可利用）建造一个面积为120m²的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为xm，则下列方程中正确的是（）

A . x（32﹣x）＝120 B . x（16﹣ $\text{[math]}$ x）＝120 C . x（32﹣2x）＝120 D . x（16﹣x）＝120

学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃.

（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.

如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m² ，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程.

如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 $\text{[math]}$ ，则道路的宽为米．

如图，用长为32米的篱笆围成一个矩形场地 $\text{[math]}$ ，矩形的一面利用墙（墙的长度为18米），当矩形场地的面积为120平方米时，求矩形的边长 $\text{[math]}$ ．

如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程( ) .

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图所示，在宽为20m，长为32m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪.要使草坪的面积为540m² ，求道路的宽.如果设道路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）

A . （20-x）（32-x）=540 B . （20-2x）（32-2x）=540 C . （20+x）（32-x）=540 D . （20+2x）（32-2x）=540

如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x²cm．

（1）当x为何值时，点的运动停止？
（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．
（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

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