一元二次方程的实际应用-几何问题知识点题库

空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．

（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．
如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

已知2是关于x的方程x²﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．

建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米。

（1）求养鸡场的长与宽各为多少米?
（2）若10≤a<18，题中的解的情况如何？

如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门 $\text{[math]}$ 所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为 $\text{[math]}$ ？

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如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.已知P，Q分别从A，B同时出发

（1）几秒后，△PBQ的面积等于9cm²?
（2）点P与点Q之间的距离可能为5cm吗?说明理由
（3）几秒后，五边形 APQCD的面积最小?最小值是多少?

用长4m的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 $\text{[math]}$ ，若设它的一边长为 $\text{[math]}$ m，根据题意列出关于 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1，用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

（1）若围成的花圃面积为40米²时，求BC的长；
（2）如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米² ，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．

下面是小李探索 $\text{[math]}$ 的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ >1，因此可设 $\text{[math]}$ ，可画出如下示意图．由图中面积计算， S_正方形= $\text{[math]}$ ，另一方面由题意知S_正方形= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 略去 $\text{[math]}$ ，得方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，仿照上述方法，探究 $\text{[math]}$ 的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

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如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 $\text{[math]}$ 米，现已知购买这种铁皮每平方米需 $\text{[math]}$ 元钱，算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了元钱.

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如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm² ，求剪去的小正方形的边长.

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已知线段 $\text{[math]}$ 的长度是 $\text{[math]}$ 、且满足点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S_ΔAEF= $\text{[math]}$ S_四边形_ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm² ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）

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A . x²+65x-350=0 B . x²+130x-1400=0 C . x²-130x-1400=0 D . x²-65x-350=0

如图，在宽为22m、长为30m的矩形地面上修建两条宽度相同的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要560m² ，则修建的路宽应为( )

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A . 1m B . 1.5m C . 2 D . 2.5m

如图:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=8cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿射线AB运动,同时动点Q从点C出发,以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒,△PCQ的面积为S cm² ．

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（1）直接写出AC的长:AC=cm；
（2）求出S关于t的函数关系式,并求出当点P运动几秒时,S_△_PCQ=S_△_ABC

阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x²+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x²+2·x×1+1² ，即x²+2x+ 1，而由原方程x²+2x-35=0变形得x²+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)²=36，则x=5．

任务：

（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的( )

A . 直接开平方法 B . 公式法 C . 配方法 D . 因式分解法
（2）所用的数学思想方法是( )

A . 分类讨论思想 B . 数形结合思想 C . 建模思想 D . 整体思想
（3）运用上述方法构造出符合方程x²+6x-7=0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．

从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉让他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉试，不长不短刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程中，满足题意的是（）

A . x²+（x-2）²=（x-4）² B . （x-4）²+（x-2）²=x C . （x-4）²+（x-2）²=x² D . x²+（x-4）²=（x-2）²

如图，在一块长为16m，宽为8m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的3倍，道路占地总面积为30m² ，设道路宽为xm，则以下方程正确的是（）

A . 24x+6x²＝30 B . 24x+3x²＝30 C . 48x﹣6x²＝30 D . 48x﹣3x²＝30

今年通州区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．如图，某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．通过测量可知草坪的总面积为112m² ，求小路的宽．

一元二次方程的实际应用-几何问题 知识点题库

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