完全平方公式的几何背景知识点题库

利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b² ．你根据图乙能得到的数学公式是（ )

A . （a+b）（a-b）=a²-b² B . （a-b）²=a²-2ab+b² C . a（a+b）=a²+ab D . a（a-b）=a²-ab

图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）请写出图2中阴影部分的面积：；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn．；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求a﹣b的值．

图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

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（1）图②中的阴影部分的正方形边长为；
（2）观察图②，三个代数式（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的等量关系是；
（3）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？；
（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+2n）=m²+3mn+2n² ．（画在虚线框内）

如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）

A . 2 cm² B . 2a cm² C . 4a cm² D . （a²﹣1）cm²

图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：；
方法2：；
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：（m+n）² ，（m-n）² ， mn之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值；
②已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值.

图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的等量关系．；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）²的值；
②已知： $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值．

如图，正方形ABCD，根据图形写出一个正确的等式：.

有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

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小明发现这三种方案都能验证公式：a²+2ab+b²=（a+b）² ，对于方案一，小明是这样验证的：

a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=（a+b）²

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.

（1）方案二：
（2）方案三：

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，那么利用如图2所得到的数学等式是（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

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（1）观察图2请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝ $\text{[math]}$ ，则x﹣y＝；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）²+（m﹣2020）²＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值.

解决下面的问题

（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．

请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；

代数式 $\text{[math]}$ ：

代数式 $\text{[math]}$ ：
（2）由 $\text{[math]}$ 可得到关于 $\text{[math]}$ 的等式：
（3）从边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形纸板中挖去一个边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(图甲)，然后拼成一个平行四边形(图乙). 那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的乘法公式是(用字母表示)
（4）计算 $\text{[math]}$ (直接写结果)

用上面的卡片，(数量自定)画出一个图形，来验证上面的整式运算(要求图中有长度和面积的标记)

图①是一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.

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（1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的等量关系是；
（2）有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了；
（3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解： $\text{[math]}$ .要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式.

如图1，在一个大正方形纸板中剪下边长为acm和边长为bcm的两个正方形，剩余长方形①和长方形②的面积和为8cm².若将剩余的长方形①和②平移进边长为acm的正方形中（如图2），此时该正方形未被覆盖的面积为6cm² ，则原大正方形的面积为.

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图（1）是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b ，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1：；方法2：；
（2）观察图2，请你写出代数式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．

（1）如图1，是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ▲ ，第二次列式为 ▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ▲ ；

②在①中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；
（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．

图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的正方形边长为．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S₁和S₂ ，设AB＝8，两正方形的面积和S₁+S₂＝28，求图中阴影部分面积．

（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.

①a²；②. ③b² ； ④.
（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：.
（3）利用（2）的结论计算10.23²+20.46×9.77+9.77²的值.

如图，正方形 $\text{[math]}$ 是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：

（1）请用两种不同的方法表示正方形 $\text{[math]}$ 的面积，并写成一个等式；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
②已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为 $\text{[math]}$ ，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为 $\text{[math]}$ 的正方形有1块，面积为 $\text{[math]}$ 的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为 $\text{[math]}$ ，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到 $\text{[math]}$ ．

（1）【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式 $\text{[math]}$ ；
（2）【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式 $\text{[math]}$ ；
（3）【拓展应用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．

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