完全平方公式的几何背景知识点题库

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)²的值为（）

A . 13 B . 36 C . 25 D . 169

如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（　　）

A . （a+b）²=a²+2ab+b² B . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² C . a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D . （a+b）²=（a﹣b）²+4ab

如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（a+3b）的正方形，则需要C类卡片张．

如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；
（2）观察图②，试写出（a+b）²、a²、2ab、b²这四个代数式之间的等量关系；
（3）利用你发现的结论，求：1997²+6×1997+9的值．

如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的等式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

①

，②

，③

，④

（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
①；②；③；④．
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：；
（3）利用（2）的结论计算99²+2×99×1+1的值．

[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.例如：如图①是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：

（1）图②中阴影部分的正方形的边长是;
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1:；方法2：;
（3）观察图②，请你写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的等量关系是;
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ =;
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：;
（6）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用上面的规律求 $\text{[math]}$ 的值.

若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）

图片_x0020_100004

A . （b+c）²＝b²+2bc+c² B . a（b+c）＝ab+ac C . （a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac D . a²+2ab＝a（a+2b）

如图，根据正方形 $\text{[math]}$ 面积，说明下列哪个等式成立( )

图片_x0020_100005

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

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（1）图2中间的小正方形(即阴影部分)面积可表示为.
（2）观察图2，请你写出三个代数式(m＋n)² ， (m－n)² ， mn之间的等量关系式：.
（3）根据（2）中的结论，若x＋y=－6，xy=2.75，则x－y=.
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3所示，它表示了(2m＋n)(m＋n)=2m²＋3mn＋n².试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(m＋n)(m＋2n)=m²＋3mn＋2n².

如图

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（1）如图，是用4个全等的长方形拼成一个“回形”的正方形，试将图中阴影部分面积用两种方法表示可得一个等式，这个等式为；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用（1）中的等式，求 $\text{[math]}$ 的值.

有一张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形桌面，因实际需要，需将正方形边长增加 $\text{[math]}$ ，木工师傅设计了如图际所示的方案，该方案能验证的等式是（）

图片_x0020_100010

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

图片_x0020_100007

（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式 $\text{[math]}$ ．在图形上把每一部分的面积标写清楚．

如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（）

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A . a+3b B . 2a+b C . a+2b D . 4ab

如图，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.

图片_x0020_100007

（1）图2的空白部分的边长是多少?(用含a，b的式子表示).
（2）观察图2，用等式表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系.
（3）若2a+b＝6，且ab＝2，求图2的空白正方形的面积.

观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ， b ， $\text{[math]}$ ，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)

（1）观察图2请你写出(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系是
（2）根据(1)中的结论，若x+y=5，xy= $\text{[math]}$ ，则(x-y)²=
（3）拓展应用：若(2019-m)²+(m-2020)²=7，求(2019-m)(m-2020)的值．

数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．

（1）通过两种不同方法表示出图1阴影部分的面积，可验证的乘法公式是．
（2）如图2，用4个完全相同的长和宽分别为 $\text{[math]}$ 的长方形拼摆成一个正方形，借助图形，请你写出代数式 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 之间的等量关系．
（3）根据（2）中发现的结论，求：当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的值．

如图将4个长、宽分别均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：

（1）若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？．
（2）若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？．
（3）拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和为．
②若拼接方法如图4所示，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差为．

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