完全平方公式的几何背景知识点题库

已知x²+4y²=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x＞y，能较为简单地解决这个问题是图形是（　　）

A .

B .

C .

D .

数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b² ．

（1）如图2，请用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？
（2）请说明这个等式成立；
（3）已知（2m+n）²=13，（2m﹣n）²=5，请利用上述等式求mn．

图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．

（1）比较这两幅图，你能说出它们的相同的与不同点吗？
（2）你认为图（2）中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（3）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积．
（4）观察图（2）你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn．

如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²

（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在下面虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=．
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a²+5ab+6b² ．
①你画的图中需C类卡片张．
②可将多项式a²+5ab+6b²分解因式为
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）
①xy= $\text{[math]}$ ②x+y=m ③x²﹣y²=m•n ④x²+y²= $\text{[math]}$ ．

利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b² ．你根据图乙能得到的数学公式是（）

A . （a+b）（a﹣b）=a²﹣b² B . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² C . a（a+b）=a²+ab D . a（a﹣b）=a²﹣ab

有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：

a²+2ab+b²=（a+b）² ，

对于方案一，小明是这样验证的：

a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=（a+b）²

请你根据方案二，方案三，写出公式的验证过程。

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例

如图1可以得到 $\text{[math]}$ ．请解答下列问题：

（1）根据图2，完成数学等式: $\text{[math]}$ =;
（2）观察图3，写出图3中所表示的等式：＝.
（3）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请利用（2）所得的结论求： $\text{[math]}$ 的值

图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

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（1）图b中，大正方形的边长是．阴影部分小正方形的边长是；
（2）观察图b，写出（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的一个等量关系，并说明理由．

（数学实验）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式.例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a²＋3ab＋2b².

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（1）（初步运用）
仿照例子，图③可以解释为：；
（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a＋3b）、（a＋5b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张；
（3）（拓展运用）
若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a²＋5ab＋3b² ，通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是，将2a²＋5ab＋3b²改写成几个整式积的形式为.

要说明(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程.

（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立；

如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.

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（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n=10，mn=19，求阴影部分的面积.

如图：用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是 $\text{[math]}$ ，小正方形的面积是 $\text{[math]}$ ，若用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示矩形的长和宽（ $\text{[math]}$ ），则下列关系中不正确的是（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形.用不同的方法计算这个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形面积，就可以得到一个等式 $\text{[math]}$ ，若三个实数x，y，z满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用等式求得 $\text{[math]}$ 的值为（）

图片_x0020_100006

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

（1）由图1可得乘法公式；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（4）如图3，由两个边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的正方形拼在一起，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图3中阴影部分的面积．

在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积.

（1） ①；②；③；④.
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：；
（3）利用（2）的结论计算2019²+2×2019×1+1的值.

如图的图形面积由以下哪个公式表示（）

A . a²﹣b²=a（a﹣b）+b（a﹣b） B . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² C . （a+b）²=a²+2ab+b² D . a²﹣b²=（a+b)（a﹣b）

如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）

A . a²-b²=（a+b）（a-b） B . a²+2ab+b²=（a+b）² C . a²-2ab+b²=（a-b）² D . （a+b）²-（a-b）²=4ab

学完整式的乘法公式后，爱思考的小丽同学为了探究公式之间的联系，她把一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2）．请你根据小丽的操作回答下列问题：

（1）图1中每个小长方形的长和宽分别为，图2中大正方形的边长为，中间小正方形（阴影部分）的边长为（均用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）小丽发现可以用两种方法求图2中小正方形（阴影部分）的面积，请你帮她写出来（直接用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示，不必化简）：
方法1：，方法2：；
（3）根据（2）中的结论，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的等量关系；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

图（1）是一个长为2a，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一：；
方法二：；（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（2）观察图2，试写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这四个代数式之间的等量关系：．（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求 $\text{[math]}$ 的值．

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