完全平方公式的几何背景知识点题库

如图，把边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，则长方形的面积是（）

A . 2（2a+2） B . 2a+4 C . 4a+8 D . 2（a+4）

如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）

A . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² B . （a+b）²=a²+2ab+b² C . （a+b）（a﹣b）=a²﹣b² D . a（a﹣b）=a²﹣ab

如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法①．
方法②．
（2）由（1）你能得出怎样的等量关系？．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=5，则求a﹣b．

如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

①
②
（3）观察图2，请你写出代数式（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的等量关系
根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）的值．

如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中间的小正方形（即阴影部分）面积可表示为．
（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的等量关系式：．
（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n² ．试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（m+n）（m+2n）=m²+3mn+2n² ．

如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．

图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．

（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积：
方法一：S_小正方形=；
方法二：S_小正方形=；
（2）（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn这三个代数式之间的等量关系为
（3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y=9，xy=14，求x﹣y的值．

如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )

A . 2m＋3 B . 2m＋6 C . m＋3 D . m＋6

利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）²＝a²+2ab+b² ．你根据图乙能得到的数学公式是（）

A . （a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² B . （a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² C . a（a+b）＝a²+ab D . a（a﹣b）＝a²﹣ab

如图

（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点在一条直线上．试证明∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德(G a rfield，1881年任美国第20届总统)利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该证明过程．

图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）

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A . 2mn B . （m+n）² C . （m-n）² D . m²-n²

图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形.

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1：方法2：
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x-y）2，4xy.
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x-y）2=

如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

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（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出（a+b）²、（a-b）²、ab之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=7，xy= $\text{[math]}$ ，则x-y= ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等式．

如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形.现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

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（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.
方法1：；方法2：；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）² ， a²+b² ， ab之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=5，a²+b²=13，求ab的值；

当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b².

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（1）由图2，可得等式：.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a²+b²+c²的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b）

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到

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（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用上面得到的数学等式乘 $\text{[math]}$ 的值；
（3）小明同学用图3中的 $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，z张边长为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长方形拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 的长方形，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图1是一个边长分别为2x，2y的长方形纸片（x＞y），沿长方形纸片的两条对称轴剪开，得到四块形状和大小都相同的小长方形，拼成如图2所示的一个正方形，则中间空白部分的面积是（）

A . (x-y)² B . (x+y)² C . x·y D . x²-y²

（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形 $\text{[math]}$ .把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）.图1中阴影部分面积可表示为：a²－b² ，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a²－b²=(a+b)(a－b)；

（拓展探究）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形.

（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1：，方法2：；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）²、（a－b）²、ab的的等量关系式是；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）²＝；
（4）（知识迁移）
如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体.根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：.

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，请解答下列问题

（1）写出图2中所表示的数学等式
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
（4）小明同学用图3中 $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 张边长分别为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 长方形，则 $\text{[math]}$