题目

已知函数y=f（x）的定义域是R，函数g（x）=f（x+5）+f（1﹣x），若方程g（x）=0有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为　 答案：21　． 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】根据条件得到函数f（x）关于点（3，0）对称，利用函数对称性进行求解即可． 【解答】解：由g（x）=f（x+5）+f（1﹣x）=0得f（x+5）=﹣f（1﹣x）， 则f（x+6）=﹣f（﹣x）， 即f（x+3）=﹣f（3﹣x）， 即函数关于点（3，0）对称， ∵方程g（x）=0有且仅有7个不同的实数解， ∴其中有一个根为x=3，其余6个根分别关于（3，0）对称， 设对称的两个根为a，b，则=3， 则a+b=6， 则6个对称的根之和为3×6=18， 则这7个实数解之和为18+3=21， 故答案为：21． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为判断函数f（x）的对称性是解决本题的关键．综合性较强．

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