完全平方公式的几何背景知识点题库

图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形.

(1) 写出图b中的阴影部分的正方形的边长；
(2) 写出图b中阴影部分的面积：
(3)观察图b写出下列三个代数式(m+n)²，(m-n)²，mn之间的等量关系；

(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5 ，求(a-b)²

把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a=3.6，b=0.8，则剩余部分的面积为．

如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：；
方法2：；
（3）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系：
代数式：（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn．；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若m+n=5，mn=4，求m﹣n的值．

阅读下面材料：

通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：

例如：要验证结论 $\text{[math]}$

方法1：几何图形验证：如下图，我们可以将一个边长为（a+b）的正方形上裁去一个边长为(a-b)的小正方形则剩余图形的面积为4ab，验证该结论正确。

$\text{[math]}$

方法2：代数法验证：等式左边= $\text{[math]}$ ，

所以，左边=右边，结论成立。

观察下列各式：

$\text{[math]}$

（1）按规律，请写出第n个等式；
（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性.

图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形．

（1）若中间小正方形的面积是 $\text{[math]}$ ，问图1中的长方形的面积是多少 $\text{[math]}$ ？
（2）若大正方形的面积就比小正方形的面积大 $\text{[math]}$ ，求中间小正方形的面积.

如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）²的值是

图片_x0020_100008

如图

图片_x0020_100015

（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，将图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为；
（2）若（3x－2y）²＝5，（3x＋2y）²＝8，求xy的值.

（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c.

图片_x0020_21

（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是（等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（5）（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块.
用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a³+b³的值.

如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有 $\text{[math]}$ 的正确的等式．

如图是边长为a+b的大正方形，通过两种不同的方法计算该大正方形的面积，聪明的你可以得到一个乘法公式，请你用含有字母a，b的等式表达出来。结果是。

如图①所示是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：

图片_x0020_100006

（1）图②中阴影部分的正方形的边长为；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一：；方法二：；
（3）观察图②，写出代数式 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的等量关系式：；
（4）计算： $\text{[math]}$ .

请认真观察图形，解答下列问题：

图片_x0020_100018 图片_x0020_100019

（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果 $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积.

如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).

（1）图2中的阴影部分面积为：；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）²、 (a-b)²、 ab之间的等量关系是；
（3）利用（2）中的结论，若x+y=5 ，xy= $\text{[math]}$ ，求(x-y)²的值；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S₁ ，当BC=2时，△BEG的面积记为S₂ ， ......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为S_n ，则S_2020-S₂₀₁₉的值为.

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式.
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）小明同学用图 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 张边长分别为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 长方形，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）

A . （a﹣b）²=a²﹣2ab+b² B . （a+b）²=a²+2ab+b² C . （a+b）（a﹣b）=a²﹣b² D . a（a﹣b）=a²﹣ab

（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．

① ；②；③；④．
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：；
（3）利用（2）的结论计算97²+2×97×3+3²的值．

有若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图⒉摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102(各个小长方形之间不重叠不留空，则每个小长方形的面积为( )

A . 4 B . 8 C . 12 D . 16

如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题.现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）.根据已有的学习经验，解决下列问题：

（1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，用两种不同的方法表示图1中阴影部分面积，可以得到一个等式，请写出这个等式.
（2）若要拼出一个长方形，使它可以验证等式：（a＋2b）（a＋b）＝a²＋3ab＋2b² ，请画出这个图形.
（3）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值：
②已知 $\text{[math]}$ ，求（2022－x）（x－2020）的值.

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