题目

如图，在直三棱柱中，. （1） 证明：； （2） 设 ， 若二面角的大小为 ， 求. 答案： 证明：在直三棱柱ABC−ABC1中，AA1⊥平面ABC，又AB，AC⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB=AA1，所以四边形ABB1A1是正方形.连接AB1，则AB1⊥A1B，又A1B⊥B1C，AB1∩B1C=B1，AB1，B1C⊂平面ABC，所以A1B⊥平面AB1C，又AC⊂平面ABC，所以A1B⊥AC，又AA1⊥AC，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面ABB1A，所以AB⊥AC. 解：以{AB→，AC→，AA→}为正交基底建立空间直角坐标系A−xyz，设AB=1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，设M(1，0，λ)，则A1M⇀=(1，0，λ−1)，A1C⇀=(0，1，−1)，B1B⇀=(0，0，−1)，B1C⇀=(−1，1，−1)，设平面A1MC的法向量为m→=(x，y，z)，则{m⇀⋅A1M⇀=0，m⇀⋅A1C⇀=0，即{x+z(λ−1)=0，y−z=0，得{x=z(1−λ)，y=z，，取z=1，则平面A1MC的一个法向量为m→=(1−λ，1，1)，考虑向量n→=(1，1，0)，满足{n⇀⋅B1B⇀=0，n⇀⋅B1C⇀=0，所以n→=(1，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量，因为二面角A−MC−C1的大小为π4，所以|cos⟨m→，n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=|2−λ|2×(1−λ)2+2=22，解得λ=12.

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