题目

已知函数. （1） 若函数的图象在点处的切线与直线平行，求切线的方程； （2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围. 答案： 解：由题意，函数f(x)=ex−ax+1(a∈R)，可得f′(x)=ex+a(x+1)2，则f′(0)=e0+a(0+1)2=1+a，因为函数f(x)的图象在点P(0，f(0))处的切线l与直线3x−y−6=0平行，可得1+a=3，解得a=2，所以f(x)=ex−2x+1，可得f(0)=e0−20+1=−1，即切点坐标为P(0，−1)，所以切线方程为y+1=3(x−0)，即直线l的方程为3x−y−1=0. 解：由题意，函数f(x)=ex−ax+1的定义域为(−∞，−1)∪(−1，+∞)，令f(x)=0，即ex−ax+1=0，当x∈(−∞，−1)∪(−1，+∞)，可得a=ex(x+1)，设g(x)=ex(x+1)，x≠−1，可得g′(x)=ex(x+2)，当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递增，所以当x=−2时，函数g(x)取得最小值，最小值为g(−2)=−e−2，又由g(−1)=0，且当x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，要使得函数f(x)有两个零点，则y=a和y=ex(x+1)的图象有两个交点，如图所示，结合图象，可得−e−2<a<0，即实数a的取值范围(−e−2，0).

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