题目

已知f(x)=lg(ax-bx)(常数a＞1＞b＞0).(1)求y=f(x)的定义域.(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴?(3)当a,b满足什么条件时，f(x)在区间(1,+∞)上恒大于0？ 答案：解析（1）由ax-bx＞0，得()x＞1.∵＞1,∴由指数函数的性质得x＞0.（2）先证明f(x)是增函数,任取x1＞x2＞0,a＞1＞b＞0.由指数函数的性质得 ＞, ＜.∴-＞-＞0.∴lg(-)＞lg(-),即f(x1)＞f(x2).∴f(x)是增函数.假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数相矛盾.故y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.（3）∵f(x)是递增函数，∴当x∈(1,+∞)时，有f(x)＞f(1).从而只需f(1)=lg(a-b)≥0,即当a≥b+1时，f(x)在（1，+∞）上恒取正值.

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