题目

已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的切线，记，且，求的值. 答案：【答案】（1）椭圆的方程为 （2）【解析】试题分析：(1)由题意求得， ， ，故椭圆的方程为.(2)很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得.试题解析：（1）依题意， ，解得， ， ，故椭圆的方程为.（2）依题意， ， ，直线，设，则.直线的方程为，令，得点的纵坐标为；直线的方程为，令，得点的纵坐标为；由题知，椭圆在点处切线斜率存在，可设切线方程为，由，得，由，得，整理得： ，将， 代入上式并整理得，解得，所以点处的切线方程为.令得，点的纵坐标为，设，所以，所以，所以，将代入上式， ，因为，所以.

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