题目

已知数列 满足 ，且 . （1） 设 ，求证数列 是等比数列； （2） 设 ，求数列 的前n项和 . 答案： 解：由已知得 an=bn−1 代入 an+1=2an+1(n∈N*) 得 bn+1−1=2(bn−1)+1 bn+1=2bn(n∈N*) 又 b1=a1+1=2≠0 ，所以数列 {bn} 是等比数列 解：由（1）得 bn=2n ， an=2n−1 ， cn=2n−2n−1 Sn=(21+22+⋅⋅⋅+2n)−2(1+2+⋅⋅⋅+n)−n =2n+1−n2−2n−2 因为 c1<0 ， c2<0 ， c3>0 ，且 n≥3 时， cn+1−cn=2n−2>0 所以当 n≤2 时， Tn=−Sn=n2+2n+2−2n+1 当 n≥3 时， Tn=−c1−c2+c3+⋯cn =c1+c2+c3+⋯cn−2(c1+c2) =Sn+4=2n+1−n2−2n+2 . 所以 Tn={n2+2n+2−2n+12n+1−n2−2n+2

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