题目

已知函数， （1）函数，其中为实数， ①求的值； ②对，有，求的最大值； （2）若（为正实数），试求函数与在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的的个数，若不存在，请说明理由． 答案：解:（1）由得， ①- ②记，则， 记，则，当时， i当时，，，即在上是增函数， 又，则，， 即在上是增函数，又，则， 即在上是增函数，故，； ii 当时，则存在，使得在小于0, 即在上是减函数，则，，即在上是减函数，又，则，，又， 即在上是减函数，故，，矛盾！ 故的最大值为；……9分 （3）设函数与在其公共点处存在公切线， 则… ， 由②得，即代入①得，----……13分， 记，则， 得在上是增函数，上是减函数， 又， 得符合条件的的个数为．……--------------------16分（未证明小于0的扣2分）

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