题目

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值． 答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，化简整理即可求m的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4， ∴c=，a=2， ∴b=1， ∴椭圆C的标准方程为=1； （Ⅱ）直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得 17x2﹣16mx+4m2﹣4=0， 则x1+x2=，x1x2=，① 由OA⊥OB， 知x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m） =5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2=0， 将①代入，得5×﹣2m×+m2=0， ∵m＞0， ∴m=2． 　

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